Unos ejemplos de derivación de n formas

Ejemplo 1

El más sencillo de todos. Demostremos que $latex d(dxdy)=0$ $latex d(dxdy)=d(dx \wedge dy)=d(dx)\wedge dy – dx \wedge d(dy)=0 \wedge dy – dx \wedge 0 = 0-0 = 0$

Donde hemos usado la propiedad 4 de las derivadas del post anterior, es decir.

Sean w una k forma y $latex \eta$ una l forma, tenemos que $latex d(w \wedge \eta)=(dw \wedge \eta) + (-1)^{k}(w \wedge d\eta)$.

Ejemplo 2

Sea $latex w=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy$ una 1-forma dentro de $latex K\subset R^{3}$, veamos cuanto vale $latex dw$. $latex d[P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy]=d[P\wedge dx]+d[Q\wedge dy]=(dP \wedge dx) + (P \ wedge d(dx))+(dQ \wedge dy)+(Q \wedge d(dy))$
Como $latex d(dx)=d(dy)=0$ tenemos que todo lo anterior nos quedan solo los primeros terminos de cada P y Q
$latex (dP \wedge dx) + (dQ \wedge dy)$
Ahora bien, como P y Q son 0 formas, podemos decir que (y atentos que es muy aburrido):
$latex (\frac{\partial P}{\partial x}dx+\frac{\partial P}{\partial y}dy+\frac{\partial P}{\partial z}dz)\wedge dx+(\frac{\partial Q}{\partial x}dx+\frac{\partial Q}{\partial y}dy+\frac{\partial Q}{\partial z}dz)\wedge dy=(\frac{\partial P}{\partial x}dx\wedge dx)+(\frac{\partial P}{\partial y}dy\wedge dx)+(\frac{\partial P}{\partial z}dz\wedge dx)+(\frac{\partial Q}{\partial x}dx\wedge dy)+(\frac{\partial Q}{\partial y}dy\wedge dy)+(\frac{\partial Q}{\partial z}dz\wedge dy)$
Donde, eliminando los $latex dx \wedge dx$ ya que valen cero y a sabiendas que $latex dx\wedge dy = dxdy$ por ejemplo, obtenemos que:
$latex -\frac{\partial P}{\partial y}dxdy+\frac{\partial P}{\partial z}dzdx+\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy-\frac{\partial Q}{\partial z}dydx=(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy+\frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial Q}{\partial z}dydz$

Y vaya, si nos fijamos $latex dw$ donde w era una 1 forma, nos da una 2 forma (como se indica) y ademas, la derivada de la 1 forma nos da lo que «conseguíamos con el rotacional».

Es decir, tenemos que:

$latex \int_{Curva}^{\ }w=\iint_{Region}^{\ }dw$

Que no es más que el teorema de Green y el teorema de Stokes.

$latex \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, dS = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y}\right) \, dA$

Solo que lo hemos visto en su faceta con formas diferenciales en geometría diferencial.

¿Que significa esto? que si hacemos lo mismo para una 2 forma (que obtenemos una 3 forma) tendremos el teorema de Gauss.

Y, por lo tanto, podemos definir el teorema de Stokes (Green y Gauss son particularidades) de forma general que no es más que:

Sea M una k variedad orientada en $latex R^{3}$ con k 2 o 3 contenida en un conjunto abierto de K. Si w es una (k-1) forma, tenemos que: $latex \int_{\partial M}^{\ }w=\int_{M}^{\ }dw$
Donde $latex \partial M$ es una frontera que encierra a w.

Vamos que el teorema de Green y de Gauss (y de Stokes) es algo natural de una derivación de formas diferenciales y de hecho, sabiendo esto nos ayuda no solo a entenderlo mejor sino a recordarlos mejor.

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