El álgebra de las formas diferenciales

Si ayer estuvimos viendo las formas diferenciales con ejemplos de las 0 formas, 1 formas, 2 formas y 3 formas, hoy vamos a ver un poco más de meollo al hablar de las reglas (el álgebra para los amigos) de dichas formas. Así veremos que los teoremas de Green, Stokes y Gauss son consecuencias obvias, como indicábamos ayer.

Imaginemos un par de n formas. Sea w una k forma y $latex \eta$ una l forma, ambas sobre un cuerpo K. Ademas, supongamos que $latex 0 \leq k+l \leq 3, es decir que la suma de ambas no es «mayor de dimensión» 3. Entonces, podemos definir un producto exterior (como en toda álgebra) $latex w\wedge \eta$ del que obtendremos una forma k+l sobre K.

Hagamos que dicho producto exterior satisfaga unas leyes:

1. Para cada K existe una k forma nula tal que 0+w=w para toda k forma y $latex 0 \wedge w = 0$
2. Si f es una 0 forma, tenemos la propiedad distributiva: $latex (fw_{1}+w_{2})\wedge \eta = f(w_{1}\wedge\eta)+(w_{2}\wedge\eta)$
3. Existe el inverso $latex w\wedge\eta = (-1)^{kl}(\eta\wedge w)$
4. Si $latex w_{1},w_{2},w_{3}$ son formas $latex k_{1},k_{2},k_{3}$ tales que $latex k_{1}+k_{2}+k_{3}\leq 3$ tenemos que
$latex w_{1}\wedge(w_{2}\wedge w_{3})=(w_{1}\wedge w_{2})\wedge w_{3}$
Vamos la propiedad asociativa de toda la vida contada con muchas palabras.
5. Si f es una 0 forma podemos decir que $latex w\wedge(f\eta)=(fw)\wedge\eta=f(w\wedge\eta)$, vamos, una consecuencia natural de lo anterior.
6. Vamos a ver, con todo lo anterior, unas pocas reglas:
$latex dx\wedge dy=dxdy$
$latex dx\wedge dx =0$ e igual para el resto
$latex dy\wedge dx = (-1)dx\wedge dy = -dxdy$ e igual para el resto
$latex dx \wedge (dy\wedge dz) = (dx\wedge dy)\wedge dz = dxdydz$

Ahora que tenemos montada el álgebra y su estructura, solo nos falta una cosa, ver como se derivan.

Derivadas

Para empezar una cosa importante y es que la derivada de una k forma siempre nos da, como resultado, una (k+1) forma siempre y cuando $latex k<3$. Todo esto, ahora que lo vemos con un poco de perspectiva es gracias a que, en el fondo, todo esto se refiere a tensores… pero eso puede ir para otro capitulo.

Que pasa si derivamos una 3 forma, pues que siempre, su resultado es igual a 0. No le deis mas vueltas.

Escribiremos la derivada (la operación) con la letra d. Y, observaremos que tiene las siguientes propiedades o mondongo:

1. Si $latex f:K \rightarrow R$ es una 0 forma:
$latex df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$
Que, como vemos es una 1 forma, cumpliendo «lo prometido».
2. Sean $latex w_{1}$ y $latex w_{2}$ k formas:
$latex d(w_{1}+w_{2})=dw_{1}+dw_{2}$
Vamos, que son lineales de toda la vida.
3. $latex d(dw)=0$, $latex d(dx)=d(dy)=d(dz)=0$ es decir, $latex d^2=0$ (esta es importante)
4. Esta puede ser un lío, pero al final es muy sencilla:
$latex d(w\wedge \eta)=d(w\wedge \eta)+(-1)^{k}(w\wedge d\eta)$

Y por ahora, lo dejamos aquí, ya que mañana vamos a poner ejemplos y, entender esto es muy divertido ya que, aunque parece extraño es todo bastante trivial y, sobre todo, lo que se puede hacer con ello.

Más información

Os recomiendo ver/leer este PDF que es un resumen de É. Cartan acerca de la geometría diferencial ya que lo mio no es mas que un «resumen» con intento de mejor explicación de este.

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