0-formas, 1-formas, 2-formas y 3-formas

Seguro que muchos de vosotros habréis usado y sabréis lo que es el Teorema de Green o el Teorema de Stokes en, por ejemplo, electromagnetismo que nos permite calcular el rotacional de un campo o su divergencia a través de superficies o volúmenes usando recintos cerrados o superficies.

Ahora bien, ¿pensáis que Stokes y Green se levantaron una buena mañana y se dieron cuenta de esa propiedad?. No, y es que es debido a una consecuencia lógica del teorema fundamental del calculo y tiene una versión general.

Sin entrar mucho en detalles, vamos a ver una formulación general (en nuestro caso, hasta 3 dimensiones) que nos puede ayudar a ver como existe la relación:

$latex \int_{C}^{\ } w=\int_{M}^{\ }dw$

Donde w es una n forma diferencial (una forma diferencial de dimensión n) y d es un operador que lleva n formas diferenciales a (n+1) formas. Para entenderlo sencillamente (aunque es valido para n dimensiones) veamos todo el churro en 3 dimensiones.

0-formas

¿Que es una 0-forma?. Definamos K como un abierto en R en tres dimensiones. Una 0 forma sobre dicho K es una función sobre valores reales tal que:

$latex f:K\rightarrow R$

Para todos aquellos que hayan visto K espacios sabrán que podemos ponerlas un par de propiedades necesarias. Así, si tenemos dos formas podemos sumarlas o multiplicarlas para obtener una nueva 0 forma:

$latex f_{1}+f_{2} y f_{1}f_{2}$

Vamos que tiene estructura de cuerpo. Un ejemplo de una 0 forma sería:

$latex f(x, y, z) = xzy + xz + y$

Como vemos a cada valor diferente de x, y, z (R tres) nos asigna un valor en R.

Si lo vemos «desde la calle» veremos que una 0 forma es un punto al que le damos un valor concreto. Un punto en 3 dimensiones el cual tiene un valor. Simple.

1-formas

Si recordáis hemos dichos que las n formas son «diferenciales», luego una 1 forma, de modo abreviado, podemos considerarla, sobre K como una combinación lineal de la forma:

$latex w = P(x, y, z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=Pdx+Qdy+Rdz$

Donde P, Q y R son funciones con valores reales sobre K. Ademas podemos ver que podemos sumar dos 1 formas para obtener otra 1 forma y que, si tenemos una 0 forma, podemos construir una 1 forma nueva con la 0 forma y una 1 forma, es decir:

Sea $latex w=Pdx+Qdy+Rdz$ una 1 forma y sea $latex f$ una 0 forma, definimos $latex fw= (fP)dx+(fQ)dy+(fR)dz$

Desde la calle y friamente, vemos que una 1 forma es una curva definida en 3 dimensiones. De hecho es una curva diferencial y, como esta, tiene todas las propiedades que una curva tiene y todas las operaciones que una curva tiene. ¡Fantastico!.

2-formas

Ahora empieza lo divertido ya que las 0 formas y las 1 formas son bastante sencillas de entender, pero cuando nos vamos a las 2 formas la cosa se complica y, en este caso vamos a ir de atrás en adelante.

Si las 0 formas son puntos y las 1 formas son curvas, una 2 forma es, obviamente, una superficie. Entonces, como superficie (sabiendo esto) podemos definirla como una expresión de $latex dxdy$, $latex dydz$, $latex dzdx$, es decir referente a dos de sus dimensiones.

Formalmente, definamoslas como:

$latex \eta =Fdxdy+Gdydz+Hdzdx$

Donde, como en la 1 forma, F, G y H son funciones con valores reales sobre K. Algo muy obvio y que, por lo tanto nos define sus propiedades de, suma y «multiplicación» (que es composición, recordad) de una 2 forma con una 0 forma para obtener una 2 forma.

3-formas

Por fin hemos llegado a la ultima y, siguiendo la definición que nos ha ayudado a entender que es una 2 forma como una superficie, obviamente, una 3 forma es un volumen.

Entonces, como volumen, las podemos definir como:

$latex v = f(x,y,z)dxdydz$

Con f una función con valores reales sobre K. Y, obviamente, gracias a todo esto podemos definir su composición con 0 formas y la suma de 3 formas entre ellas.

Al final estamos viendo que esto es mucho mas sencillo de lo que parece, ¿verdad?.

Orientación

Aquellos que se hayan pegado con curvas, superficies y volúmenes, tendrán «el culo pelado» con un problema que tenemos a partir de una curva: la orientación.

Por supuesto que aun no hemos definido la orientación por ahora, pero es un problema muy fácil de resolver simplemente aplicando «un orden cíclico de las cosas». Y cuando hablo de las cosas, hablo de las dimensiones. Así definamos de forma circular:

$latex dx \rightarrow dy \rightarrow dz \rightarrow dx \rightarrow dy …$

De esta forma estamos definiendo la orientación por todos conocida, asi en una curva (1 forma) al ir de dx a dy la orientación es la contraria a las agujas del reloj (igual para dy a dz o dz a dx) y en una superficie (2 forma), la orientación positiva sería dxdy a dydz a dzdx.

Integrales

Veamos, para acabar por ahora, una operación básica al ser las n formas, formas diferenciales. Las integrales (de Rienman). Para ello veamos con una 1 forma y, para ello definamos:

$latex w=Pdx+Qdy+Rdz$

Como una 1 forma sobre K y por lo tanto una curva C orientada. ¡Yuju!.

Podemos definir un numero real para esta 1 forma de la siguiente forma:

$latex \int_{C}^{\ } w=\int_{C}^{\ }P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz$

Que seguro que os suena un montón y que podemos calcularla a través de una parametrización:

$latex c:[a,b] \rightarrow K, c(t)=(x(t),y(t),z(t))$

Con lo cual, podemos decir, fácilmente ahora que:

$latex \int_{C}^{\ } w=\int_{c}^{\ }[P(x(t),y(t),z(t))\frac{dx}{dt}+Q(x(t),y(t),z(t))\frac{dy}{dt}+R(x(t),y(t),z(t))\frac{dz}{dt}]dt$

Vamos, como se ha hecho toda la vida y, que por lo tanto, como vemos, todo lo definido antes coge sentido. Así vemos que todas las n formas son asignaciones a puntos, curvas, superficies o volúmenes (recordad que paramos en R tres, pero no tiene porque ser así) a números reales.

De hecho, para una 2 forma, podemos definir la integral de la siguiente forma:

Sea S una superficie y $latex\eta$ una 2 forma sobre K, definiremos (no os asustéis por el churro porque si lo leéis con calma os sonara un montón): $latex \iint_{S}^{\ } \eta=\iint_{S}^{\ }Fdxdy+Gdydz+Hdzdz=\iint_{D}^{\ }[F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}+G(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (y,z)}{\partial (u,v)}+H(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\frac{\partial (z,x)}{\partial (u,v)}]dudv$

Donde no es mas que una parametrización de una superficie de toda la vida que cualquiera que haya visto calculo vectorial le sonará.

Siguiente «capitulo»

Por hoy ya os he dado mucho que pensar para entender, de forma diferencial lo que se llaman formas diferenciales (de manera muy básica) y, si estudiáis ingeniería, matemáticas o física entendáis un poco más estos elementos.

En el siguiente «capitulo» os contare el álgebra de las mismas para que acabéis de ver el sentido a Green, Stokes y Gauss (si, se me olvido nombrarlo antes) como algo natural de las n formas.

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