Derivadas complejas

Si algún día os da por estudiar las ecuaciones diferenciales y sus soluciones, llegara un momento, en que, si observáis las bifurcaciones en codimensión 1 en un sistema de dos variables. Veréis un estudio de algo maravilloso que os ayudara a comprender las matrices de Jordan, los autovalores de matrices que habréis visto en álgebra y las soluciones con raíces complejas.

Para llegar a ver esto con buenos ojos, tendréis que pasar antes por aprender a usar los números complejos y realizar las operaciones que habeis realizado con los reales de la misma naturalidad.

Observareis que al final es lo mismo, salvo que en vez de tomar una recta, tomareis un plano, que no es tan complicado y solo hay que tener la cabeza “un poco más abierta”.

Por ejemplo, la derivación compleja.

Derivación de funciones

Supongamos una función  de un parámetro (t) de la siguiente forma.

w(t)=u(t)+iv(t)

Al final, si os fijáis no es más que una función compuesta de dos funciones (u y v) reales sobre t. De aquí podemos sacar su derivada.

w'(t)=u'(t)+iv'(t)

Y, como función, ha de cumplir todas las normas básicas algebraicas, cosa que hace, tanto para reales, como para complejos. Es decir.

w(z_{1}t+z_{2}t)=z_{1}w(t)+z_{2}w(t)
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}z_{0}w(t)=z_{0}w'(t)
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}e^{z_{0}t}=z_{0}e^{z_{0}t}

Es decir, saquemos como saquemos, ya sea en polares o en cartesianas, funciona igual que las derivadas estándar.

Resumiendo, que podemos considerar el derivado de una función compleja como la suma de la derivación de sus funciones que la componen (que son reales).

Las leyes de derivación, teniendo en cuenta lo anterior, así como el teorema Fundamental del Calculo se extiende exactamente igual que para los casos reales. De ahí que en si no haya complicación alguna, salvo el saber que:

i^2=-1

Esto solo vale cuando, por ejemplo, tomamos el valor cartesiano de las funciones y del complejo. Nada más.

Así que, que no os asuste nunca una derivada compleja.

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