Calculo de distribuciones continuas de carga

Aunque el electromagnetismo nunca ha sido mi fuerte y tampoco es que me haya gustado mucho, con el paso de los años le he cogido el “gustillo” cuando aprendí que era una de las fuerzas fundamentales de la naturaleza en la teoría de campos.

En ese momento lo vi con otros ojos, como una revelación que me hizo comprender automáticamente todo lo que había estudiado con anterioridad.

Quizás por eso, os voy a empezar a poner unos ejemplos prácticos sencillos de electromagnetismo, para que lo veáis con los mismos ojos con los que yo lo veo.

Por nuestro amigo Coulomb sabemos que la carga eléctrica genera unas fuerzas (atractivas o repulsivas). Todas muy parecidas a la ley de Netwon y, por eso es, en principio, bastante sencillo de entender.

\overrightarrow{F}=k\frac{q{q}'(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}')}{(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}')^3}

Las fuerzas, crean un campo, es decir, si tomamos las fuerzas en todo punto alrededor la carga q (o generado por la carga q), obtenemos el campo eléctrico generado por dicha carga, un campo vectorial de toda la vida.

\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{q(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}')}{(\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}')^3}

Con lo que, obviamente, tenemos que:

\overrightarrow{F}={q}'\overrightarrow{E}

Algo bastante trivial. De hecho, de esta definición de cargas puntuales, podemos jugar y, siendo un poco listos, aplicarlo para un conjunto de cargas puntuales a través de un sumatorio entre todas las cargas (y sus distancias, recordad que todo lo anterior devuelve vectores) o, por densidades de cargas si integramos en su volumen (o superficie, o curva si es lineal).

De esta forma podríamos calcular, con mas o menos dificultad el campo eléctrico generado por un objeto conociendo la densidad de carga del mismo usando una mera integral definida y usando una integral (por ejemplo) de volumen, algo básico que se ve en los cursos de calculo de cualquier carrera. Quizás lo más complicado sea acordarse de ese tipo de integrales, de como se hacían o de como se simplificaban ya sea tomando (por ejemplo en el caso de una curva) un parámetro a fin de “parametrizandolas” hacer que dependiera de un único diferencial.

Así que vamos a poner un ejemplo de libro para una carga lineal.

Imaginemos una distribución de carga lineal (osea, en una linea) de tamaño infinito sobre el eje Z. Imaginemos que no conocemos el numero de cargas, con lo que no podemos hacer un sumatorio, pero si la densidad lineal de las mismas. Llamemos a esta densidad \lambda .

Nos quedaría algo como en el dibujo donde, calculamos el campo en un punto cualquiera situado a una distancia \rho , teniendo en cuenta que ponemos el origen (recordad que es infinita) en una perpendicular a dicho punto para simplificar el asunto. Total, el resultado es el mismo.

Perdonad, no soy muy bueno dibujando

Tomando coordenadas cilíndricas para simplificar los cálculos y por quitar senos y cosenos del asunto tenemos que para el punto P el diferencial dl de longitud ejerce una fuerza que podemos descomponer en los dos vectores unitarios de dicho sistema cilíndrico.

El punto P esta a una distancia r y el diferencial de linea de carga esta a una distancia r’ del origen O. Donde, notese que los vectores los pongo en negrita.

Calculemos ahora los vectores necesarios para la ecuación anterior del calculo del campo.

\overrightarrow{r}=\rho\overrightarrow{u_{\rho}}
\overrightarrow{{r}'}={z}'\overrightarrow{u_{z}}
dl=d{z}'
(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{{r}'})=\rho\overrightarrow{u_{\rho}} - {z}'\overrightarrow{u_{z}}
|\overrightarrow{r} - \overrightarrow{{r}'}|=(\rho^2 - {z}'^2)^\frac{1}{2}

Donde, simplemente hemos hallado los elementos de la ecuación por separado.

Ahora nos tocaría “lo gordo” que es juntarlo para el calculo del campo e integrar “definidamente” ya que los limites de dicha integral están entre más y menos infinito por definición.

\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int_{-\infty }^{\infty}\frac{\lambda(\rho\overrightarrow{u_{\rho}} - {z}'\overrightarrow{u_{z}})d{z}'}{(\rho^2 - {z}'^2)^\frac{3}{2}}

¡Buf! Vaya lío de integral. Pero si somos listos y observamos la imagen, podemos dividir esta integral según sus componentes \overrightarrow{u_{\rho}} y \overrightarrow{u_{z}}.

Con lo que tendríamos dos integrales “más sencillas” y donde, si observamos la figura otra vez, por simetría, la componente en el eje Z se elimina ya que hay otro dl a la misma distancia y en el sentido contrario que genera una componente contraría. ¡Yupi!.

Resumiendo, que la integral se nos queda en.

\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \int_{-\infty }^{\infty}\frac{\lambda\rho\overrightarrow{u_{\rho}}d{z}'}{(\rho^2 - {z}'^2)^\frac{3}{2}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left [ \frac{{z}'}{\rho^2(\rho^2-{z}'^2)^\frac{1}{2}} \right ]_{-\infty}^{\infty}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\rho}\overrightarrow{u_{\rho}}

Donde, la integral es bastante compleja al tener que usar sustituciones trigonométricas que, a mi parecer, son del todo menos agradables.

Podéis usar “la calculadora de integrales” que os ayudara a ver todos los pasos con mucha calma.

A modo de resumen, y lo interesante de todo esto, es ver que cuando calculemos un campo de distribuciones de carga lo mejor es elegir, según como sea la distribución un sistema (esférico, cilíndrico…) que nos ayude (al ser un calculo vectorial) a simplificar el problema lo máximo posible, calcular bien los vectores del punto (en nuestro caso P pero este puede ser cualquiera) y elegir un origen que simplifique lo máximo posible todos los cálculos.

A partir de ahí es tirar de la máquina matemática hasta el resultado que dependerá de lo bien o mal que hayamos cogido todo lo anterior.

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