El cono de Mach

Seguro que muchos de vosotros os suena esa imagen e incluso sabréis lo que es el cono de Mach. Sabréis que se forma cuando un avión sobre pasa la velocidad del sonido aunque no entenderéis que el cono de Mach, realmente, es y se denomina una envolvente a un objeto que viaja a velocidades superiores a las del sonido.

Es decir, el cono de Mach, matemáticamente, es simplemente resolver y hallar la envolvente a un objeto que se desplaza a una velocidad determinada.

Vamos al “turrón” matemático.

Supongamos que el sonido viaja a una velocidad c y que un objeto (un avión, para ser exactos) viaja a una velocidad v superior a c (v > c) en una dirección. Tomemos esa dirección (ya que presuponemos que no varia) como uno de los ejes (para simplificar los cálculos), por ejemplo, el eje x aunque puede ser cualquiera de los otros ejes o incluso una recta definida. Pero, repito, moviendo los ejes haremos que el avión se mueva sobre el eje x.

Ya que estamos, supongamos que, como viaja a velocidad v, en un instante determinado el avión se encontrara en la siguiente posición (vt, 0, 0).

Vamos que se mueve a velocidad constante y, fácilmente, podemos saber su posición.

El avión generara sonido (obviamente) que se expande de forma esférica, como toda onda. Aquí hay poco que rascar.

En un instante T < t este se expandirá con velocidad c (velocidad que hemos supuesto del sonido). Este frente de ondas se moverá según (vT, 0, 0) obviamente. Ahora bien, en el instante t, ese frente de ondas estará a:

c(t-T)

Con lo que su ecuación, o su función para ser más exactos, será:

f(x, y, z, T) = (x-vT)^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}(t-T)^{2}=0

Obviamente, las ondas se desplazan como esferas de radio c(t-T) como hemos dicho y por lo tanto, para comprenderlo mejor, hemos parametrizado dichas esferas desde:

(x-vT)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}(t-T)^{2}

Hemos llevado todo a un lado y hemos creado una función. Simple.

Ahora un poco de teoría y es que la ecuación de una envolvente se puede hallar de forma muy sencilla geometricamente. Y es que si suponemos f(x, y, z, c) siendo c el parámetro, si eliminamos c de las ecuaciones:

f(x, y, z, c)=0
\frac{\partial }{\partial c}f(x, y, z, c)=0

Obtenemos la envolvente.

En lo que nos acontece, como ya tenemos f(x, y, z, c), solo nos falta su parcial en función del parametro, que en nuestro caso es T en vez de c. Una diferenciación muy simple:

\frac{\partial }{\partial T}f(x, y, z, T)=-2v(x-vT)+2c^{2}(t-T)=0

Y ahora viene darle a la churrera de las matemáticas donde, lo mejor es despejar T:

T=\frac{vx-c^{2}t}{v^{2}-c^{2}}

Con lo que, churreteando más y, ahora que tenemos T, sacando la zona de paréntesis de la ecuación de la función sin diferenciar para tenerlo claro:

x-vT=x-\frac{v^2x-vc^{2}t}{v^{2}-c^{2}}=\frac{c^{2}}{v^{2}-c^{2}}(vt-x)

t-T=t-\frac{v^2x-vc^{2}t}{v^{2}}=\frac{v}{v^{2}-c^{2}}(vt-x)

Y si sustituimos en f(x, y, z, T) = 0

\frac{c^{4}}{(v^{2}-c^{2})^{2}}(vt-x)^{2}+y^{2}+z^{2}-\frac{(cv)^{2}}{(v^{2}-c^{2})^{2}}(vt-x)^{2}

Y churreteando más a fin de intentar sacar una función conocida, como una esfera:

y^{2}+z^{2}=\frac{c^{2}}{(v^{2}-c^{2})^{2}}(v^{2}-c^{2})(vt-x)^{2}=\frac{c^{2}}{v^{2}-c^{2}}(vt-x)^{2}

Llegando, finalmente, a la ecuación denominada el cono de Mach en el eje x desde (vt, 0, 0) en cualquier instante t a cualquier velocidad v constante, eso si:

x=vt-\frac{\sqrt{v^{2}-c^{2}}}{c}\sqrt{y^{2}+z^{2}}

Que, gráficamente (y sacado de la Wikipedia porque dibujar no es lo mio).

Porque la física y las matemáticas son muy bonitas.

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