Tipos de distribuciones

Bajo este nombre, muy genérico, os voy a hablar de un tema muy interesante y, sobre todo, estadístico que es la distribución en física.

Y es que, cuando tenemos muchos elementos iguales que están “aparentemente” en un mismo estado vemos, si podemos coger uno a uno, que estos no se encuentran en el mismo estado, sino en una distribución de varios y cuya “media” es el estado que vemos.

Existen tres tipos de distribuciones en física.

Distribución de Maxwell-Boltzmann. Esta distribución se basa en elementos distinguibles, en moléculas. Es decir, si por ejemplo cogemos una caja llena de aire a cierta temperatura y, fuéramos cogiendo moléculas 1 a 1 veríamos que no todas las moléculas tienen las mismas propiedades. Como he dicho antes, en la explicación, lo que macroscopicamente vemos es la media pero microscopicamente hay una distribución de partículas a diferentes propiedades.

Distribución de Fermi-Dirac. Aquí tratamos sobre elementos indistinguibles, por ejemplo un electrón. Y es que en una nube de electrones o si tenemos un átomo con 2 electrones y si le pudiéramos poner una banderita diferente a cada uno de los electrones (por ejemplo, un número) veríamos que somos incapaces de distinguir un electrón de otro. Son indistinguibles. Es algo complicado de entender pero es así, no podemos distinguirles por mucho que veamos y no sabremos cual es cual por mucha “bandera que les pongamos”. La distribución de Fermi-Dirac trata de fermiones, una de las partículas pilar. Lo bueno es que los fermiones cumplen el principio de exclusión de Pauli (dos fermiones no pueden tener los mismos números cuánticos). Con lo cual, esta distribución trata sobre como, por ejemplo, están distribuidos energéticamente los electrones en un metal.

La explicación “técnica” es debido a que los fermiones no son partículas en si sino son longitudes de onda (teoría de campos). Dos fermiones “iguales” (del mismo tipo) tienen la misma longitud de onda pero su separación es tan pequeña que nos imposibilita distinguir entre una onda o la otra. Luego en el ejemplo anterior, el mero hecho de ponerles una “banderita” seria muy complicado ya que seriamos incapaces de separar uno de otro.

Recordad que todo vibra (porque todo es energía), con lo que los átomos también vibran. La historia es que podemos distinguirles porque la longitud de onda de la vibración esta muy separada en comparación con su frecuencia. Es decir, la frecuencia a la que vibran es tan “pequeña” en comparación con las distancias que nos permite distinguir uno de otro, algo que con los fermiones (un electrón) no ya que su función de onda, su frecuencia es similar a tamaño o a la separación si hay varios. Es simple y sencillo de entender.

Distribución de Bose-Eintein. Si las partículas fundamentales (según la teoría de campos) son los fermiones y los bosones y, la anterior distribución trata de los fermiones es bastante obvio entender que la distribución de Bose-Einstein trate de los bosones. Los bosones son también partículas indistinguibles (para nosotros todos los bosones son iguales) pero que, ademas, no tienen porque cumplir el principio de exclusión de Pauli (puede haber más de uno con los mismos números cuánticos, que cosas). Por ejemplo, por mucho que miremos la luz que esta compuesta de fotones y no vamos a distinguir uno de otro (podéis ver el ejemplo de la rendija para entenderlo o comprender porque un fotón puede estar en dos sitios a la vez y ser el mismo). Un lió mental pero muy facil de comprender si nos metemos en la teoría de campos.

Volvamos a la distribución de MB (Maxwell-Boltzmann). Imaginemos una habitación con un gas, por ejemplo, aire. El aire esta compuesto de Oxigenos y Nitrogo (O_{2} y N_{2}) de forma que las moléculas del gas se mueven libremente (aunque con la restricción del tamaño de la habitación) por ella. Las moléculas se podrán golpear entre ellas y, al estar confinadas en una habitación, también se golpearan con las paredes. Hasta aquí es todo muy sencillo de comprender.

Gracias a ello (a los golpes) las moléculas intercambian entre si energía y momento. Eso es bastante obvio.

La energía de la molécula será:

E=\frac{1}{2}mv^{2}

Las moléculas, cuando chocan, ejercen una fuerza que será:

F=\frac{dp}{dt}

Es decir, la fuerza sera la variación de su momento en el tiempo (obviamente).

Ahora bien, si nos fijamos en las paredes de la habitación estas sufren una fuerza por las moléculas como hemos calculado antes y, por lo tanto una presión por ello que será:

P=\frac{F}{A}

Donde F es la fuerza, como hemos calculado antes y A es el área de la habitación, nada complicado puesto que es mecánica clásica de todas la vida.

Ahora bien, existe una relación directa entre la presión y la temperatura de tal forma que la presión varia linealmente según la temperatura que tenga. A menor temperatura, menor presión y, tomando las ecuaciones anteriores, no hay fuerza y por lo tanto no hay momento.

Esto sucede a una temperatura de 0K (cero kelvin) y es el intringulis de esa escala, que a valor 0 absoluto no hay movimiento de moléculas, no hay momento y por lo tanto no hay fuerzas. ¡Mola!.

Y si hacemos una gráfica que nos muestre el numero de moléculas y la energía que tienen, veremos que la distribución nos ofrece una forma de campana gaussiana. Donde la mayoría de las moléculas están en la zona de la campana que es la mas probable.

Ahora lo bonito. Y es que la energía está relacionada con la temperatura y la temperatura que observamos en la habitación es la energía media de las moléculas.

E = kT

Es decir que lo que medimos como temperatura es la energía y la media según la distribución de MB es la energía media de su gaussiana de distribución. ¡Tachan!.

Hay que entender que lo que vemos en la distribución son posibilidades y, como tal, hay que tener en cuenta lo que sucede si variamos la energía y por lo tanto la temperatura ya que el numero de moléculas siempre sera el mismo (obviamente) y que ha de haber moléculas en todas las temperaturas. Esto significa que la gráfica, la campana gaussiana sera más estrecha y más alta a bajas temperaturas y mas plana y larga a altas temperaturas.

Finalmente, la formula que nos indica la probabilidad de encontrar una partícula con cierta energía con MB es:

f(E)=\frac{1}{e^\frac{E}{kT}}

Para la distribución de FM (Fermi-Dirac) imaginemos un átomo de hidrógeno. Sabemos que este átomo tiene un electrón que en su estado fundamental (el estado de mínima energía) está situado en el nivel 1s.

Como sabemos, en mecánica cuántica los átomos tienen sus niveles de energía cuantificados y un electrón solo puede estar en un nivel saltando de uno a otro si absorbe o emite energía. Los niveles tienen cantidad máxima de electrones según sus números cuánticos (n, valor cuántico principal; l, valor cuántico orbital; m_{l}, valor cuántico magnético; y s o espín). Los valores cuánticos así referidos son solución de la ecuación de Schrödinger en coordenadas polares y están relacionados tal que:

n = 1, 2, 3..
l = 0, 1, 2, 3… (n-1)
m_{l} = -l, (-l+1),… ,0, …., (l-1), l
spin =
(1/2) o -(1/2)

Así, en el nivel 1 tenemos que los valores permitidos n=1, l=0 y m_{l}=0 y espin (1/2) o (-1/2) con lo cual en si tenemos dos posibles valores y por lo tanto, por exclusión de Pauli, dos únicos electrones posibles en ese nivel. Por eso se dice que el nivel esta completo si tiene el valor 1s^{2}.

El nivel energético 2, tendrá 2s^{2} como la anterior forma y 2p^{6} ya que n=2, l=0 (no pongo el resto), l=1, m_{l}=-1, 0, 1 y espín (1/2) y -(1/2) que da un total de 6 electrones con lo que si tiene los dos niveles (1 y 2) completos, tendrá 1s^{2}, 2s^{2}, 2p^{6} electrones que suman 8 electrones en total. Que, aunque suena muy lioso, al final es bastante sencillo salvo el saber porque han puesto esos nombres a los niveles (s, p, d, f, g…).

Como decíamos, el hidrógeno “fundamental” tiene 1s^{1} electrones. Imaginemos otro átomo de hidrógeno también en su estado fundamental, ambos con dicho átomo, por ejemplo, en espín (1/2). Si juntamos ambos átomos para intentar formar (ya que la capa de valencia (la capa de menor energía no completa del átomo) un H_{2} (que existe y es estable) por el principio de exclusión de Pauli al estar en números cuánticos iguales no se podrá a no ser que uno de los electrones se “aposente” en la capa de conducción (que es el nivel energético siguiente -más alto- a la capa de valencia, cosa que ya nos permite entender como funciona la electricidad, los diodos y, en definitiva, la conducción entre elementos dicho sea de paso).

Pero realmente lo que pasa es algo un poco mas divertido y tiene un truco. Un electrón no esta siempre con espín positivo o negativo (1/2) sino que según le midamos cambia de espín. Unas veces esta positivo y otras está negativo, pero al final, la probabilidad en un tiempo finito de encontrarlo positivo o negativo es del 50%. ¡Es lo divertido de la mecánica cuántica!. Con lo cual, en el ejemplo anterior, habrá un momento en que sí se puede formar la molécula de H_{2}. Aunque, nos falta una cosita y es que la molécula resultante, los niveles energéticos tiene solo uno, el de valor n=1 pero el nivel energético esta desdoblado. Este efecto se denomina desdoblamiento del nivel energético y se puede observar cuando se hace un espectro de luz en el cual se puede ver la banda energética desdoblada y es algo muy bonito. Normalmente el desdoblamiento de banda se observa en cristales muy grandes.

Donde, un cristal no es lo transparente que tenemos en las ventanas sino una estructura solida donde existe una unidad llamada celda unidad que se repite en el espacio y, mientras la celda unidad, se repita (con ciertas impurezas) por el espacio se le denomina forma cristalina y cristal. Por eso la cristalografía no trata de cristales sino de las propiedades de estas estructuras y es una rama de la física muy interesante, geometricamente hablando.

Volviendo al tema anterior, si tomamos un cristal, las bandas de valencia estarán desdobladas de forma que si hay N moléculas habrá N bandas para un nivel energético pero, si por ejemplo es un átomo como el hidrógeno que solo tiene 1 electrón por ser la capa s (recordad que en la s solo caben 2 electrones) al final de todo el asunto y porque hay mitad (N/2) con espin (1/2) y mitad (N/2) con espin -(1/2) en realidad en esa capa desdoblada N veces estará ocupada totalmente N/2 veces, osea la mitad.

Bien, esta capa desdoblada y la energía llena hasta la mitad de dicha capa se denomina energía de Fermi. Y es el nivel energético máximo ocupado por los electrones de un cristal (o de una molécula) a una temperatura de 0 Kelvin (es la definición).

La energía de Fermi nos indica hasta donde llega la capa de valencia y cual es la energía de esta. Esto es algo muy importante ya que en ello se basan conductores, semiconductores, diodos, la electrónica y sobre todo la física del estado sólido (una rama de la física) y lo que esta, dentro del mismo nivel energético pero en la zona libre desdoblada es la capa de valencia.

El desdoblamiento (la capa entera) suele tener unos niveles energéticos de diferencia muy pequeño, del orden de 10eV (que es una autentica porquería) y por eso, algunos electrones en la capa de valencia (recordad, lo que he dicho) son fácilmente “promovidos” a la capa de conducción simplemente por pequeños aumentos de temperatura o por choques con otras moléculas o, debido a que es una energía baja (la más baja del material) cuando le aplicamos corriente permite que los electrones se muevan con poca energía (depende del material y su capa de valencia) emitiendo calor. La explicación cuántica de la corriente eléctrica.

Volviendo a las distribuciones y tras este rollo para que lo entendáis, la probabilidad de que un nivel de energía este ocupado ahora es (tras mucha matemática):

f(E)=\frac{1}{e^\frac{(E-E_{fermi})}{kT}+1}

Donde, E_{fermi} es la energía de Fermi, lo que antes os he contado y E es el nivel que queremos saber cual es la probabilidad de estar ocupado (o no). Y que como vemos es muy parecida a la probabilidad de MB.

Lo bonito es que si $latex EE_{fermi}$ tenemos que f(E)=0 o lo que es lo mismo, no están ocupados luego están libres si la energía esta por encima de la energía de Fermi. Algo que es obvio.

Entonces diréis, ¿para que vale? para los niveles energéticos de desdoblamiento, amigos. Esto nos da un nivel de conductancia del átomo y por lo tanto del cristal. Y no solo eso ya que podemos calcular la llamda temperatura de Fermi:

T_{F}=\frac{E_{F}}{k}

Donde k es la constante de Boltzmann y que es la temperatura a la cual la mitad están libres y la mitad están ocupados, algo muy necesario para los dispositivos electrónicos al ser la conductancia “perfecta” de dicho material.

Con esto, si la imagen anterior era una campana gaussiana, ahora es “un diente de sierra” que varia según la temperatura, algo fácil de comprender.

Acabemos este tocho con la probabilidad de BE (Bose-Einstein). Como hemos dicho muy arriba y habrás olvidado si la distribución de FD se basa en el principio de Pauli para fermiones, el principio de BE se basa en bosones que no están sujetos al principio de exclusividad de Pauli al ser partículas que llevan fuerzas (os recomiendo ver mi explicación de la teoría de campos).

Por ello, la formula es parecida a la de FD (Fermi-Dirac) que a su vez es parecida a la de MB (Maxwell-Boltzmann):

f(E)=\frac{1}{e^\frac{E}{kT}-1}

Donde, lo más destacable es que si antes era +1, ahora es -1 justamente por lo que he dicho de que los bosones no están sujetos al principio de exclusión de Pauli.

Entonces, os preguntareis, ¿si no cumplen el principio de exclusión de Pauli los bosones siempre estarán en el nivel energético más bajo?. Pues no, pero estarán en el nivel que les corresponde energéticamente y, como sabréis hay muchos elementos que pueden dar energía como, por ejemplo un cambio de nivel energético da un fotón de cierta energía (que se ve con cierta longitud de onda) y otro cambio a otro nivel energético da otro fotón a otra energía diferente y, por lo tanto, a otra longitud de onda diferente. Otra historia es que el cambio al mismo nivel da siempre, en el mismo espacio y a la vez, el mismo tipo de fotón (que es el boson más fácil de comprender).

Pero de la ecuación podemos sacar que a 0 Kelvin todos los fotones (que recordad que es un boson) estarán al nivel de mínima energía, al menor nivel de energía posible, todos. Este nivel se denomina “condensado” y es el resultado de la gráfica que veis a temperatura 0 y que ha creado el condensado de Bose-Einstein.

Esto nos indica que a 0 absoluto todos los bosones están concentrados y puede ser “vistos” (lease el sentido al no estar distribuidos a diferentes niveles) en un unico nivel y que los bosones es una partícula que lleva energía (de las 4 fundamentales, fuerte, débil, electrónica y gravitatoria). Por eso se esta intentando llegar a fabricar este condensado a modo de experimento para observar el gravitón o boson que lleva la gravedad (que es uno de los que nos queda) y, aunque, si mal no recuerdo en 2001 se dio el premio Nobel a los que consiguieron “casi” el condensado de BE con Rubidio (les falto unas millonesimas de Kelvin) el conseguir el 0 absoluto es algo que, actualmente, se considera imposible al necesitar energía infinita.

Hay que indicar que la distribución de BE se usa para la radiación del cuerpo negro y de donde se deriva el boson electromagnetico o para la temperatura sirve para los fonones que son las particulas que llevan la vibración en las redes cristalinas. ¡Al final todo encaja!.

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