Generación de muones debido a la dilatación espacial

Bajo este titulo de post hay un tema muy interesante y es la generación de muones como radiación secundaria debido a la dilatación del tiempo o a la contracción espacial.

Conocido por todos, aunque sea de haberlo visto en las películas, es que si se viaja a velocidades altas, cercanas a c, existe unos fenómenos como la dilatación temporal (1 segundo dura “más” aunque los que vayan a esa velocidad no se den cuenta) y una contracción espacial (1 metro se hace más enano, aunque los que vayan a esas velocidades no se den cuenta) todo gracias a la relatividad especial de Einstein.

Yo, asumo desde aquí, que el lector no solo tiene conocimiento de ello, sino un poco de idea matemática de lo que hay detrás aunque, obviamente, os lo explique entre medias.

Por física de materiales básica sabréis que los muones, el muón, es una partícula elemental (un fermión, vaya) con espín 1/2 y carga negativa. Hasta aquí o lo entendéis u os suena a chino por eso, para los segundos voy a amasar un poco el termino.

El muón es una partícula que se observo en la radiación cósmica (de la cual os he hablado mucho). Pero se trata de una partícula de transición, es decir, una partícula Jeames Dean que sigue su máxima de “vive rápido, muere joven y deja un bonito cadáver”. Y es que en las desintegración de partículas (vamos, cuando una partícula se hace añicos) el muón genera un electrón, un neutrino y un antineutrino. Y, como genera un electrón puede hasta (durante su corta vida) reemplazar a un electrón en un átomo. Si queréis saber más, podéis preguntar o simplemente buscar literatura (que hay bastante) donde veréis que vive muy poco, cosa de 2 micro segundos.

Volviendo al tema principal, como toda partícula, el muón se desintegra siguiendo la formula:

N(t)=N_{0}e^{-\frac{t}{\tau }}

Donde, como sabreís, N_{0} es el número de partículas que hay en t=0 y N(t) son las partículas que hay en el instante t con \tau la vida media.

Los muones pueden estar en reposo o, ir a grandes velocidades, casi la de la luz (c), de hecho a 0’997c pero, como viven poco, poco se mueven. Un muón en movimiento no llega a los 660m por su corta vida (recordad James Dean).

Ahora bien, como viaja a velocidades “prácticamente” la de la luz, para nosotros, en un sistema inercial de toda la vida, el tiempo de vida de un muón en movimiento no es el tiempo de vida del muón en si. Por Einstein, el tiempo se dilata para el sistema inercial y los 2 micro segundos se convierten en 33 microsegundos.

Si queréis ver las matemáticas es simple. El tiempo se contrae con la siguiente ecuación:

t_{2}-t_{1}=\gamma (t_{2}^{'}-t_{1}^{'})

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac {v^2}{c^2}}}

Donde \gamma es el factor de corrección de la transformación de Lorentz y que es algo básico. Recordad que el factor de Lorentz podemos calcularlo usando la transformación de Galileo como base e introducciendolo como factor de corrección de la misma. Es un ejercicio muy divertido a realizar sabiendo que la transformación de Galileo es (para un eje, por ejemplo y):

y=y^{'}-vt

Donde, solo hay que tener en cuenta un sistema con coordenadas (x, y, z) y origen O y otro con coordenadas (x’, y’, z’) con origen O’ moviéndose a una velocidad v respecto al anterior. Si os dedicáis a calcular las velocidades de un punto, sus aceleraciones y metéis que, esa partícula viaja a la velocidad de la luz (c) llegareis a la transformación de Lorentz en un plisplas. No es complicado pero si un buen experimento.

Volviendo al tema de nuestra partícula, el muón, en ese tiempo recorrerá, para el sistema inercial, un porrón de metros, 10000. Es decir, para nosotros, el muón vive más y recorre más, como piensan los fans de James Dean de su muerte.

Todo gracias a la contracción de las longitudes que es algo sencillo de ver sabiendo cuanto vale \gamma y aplicándolo a la distancia de un objeto que se encuentra en la dirección del movimiento del sistema. Es decir, que esto suena complicado pero, como todo en física, no lo es.

Imaginemos los mismos sistemas que teníamos antes, el O y el O’. En el sistema O’ tenemos, en la dirección del movimiento (esto es importante) algo que mide una longitud L_{p} (se llama asi porque se llama longitud propia, que es la longitud medida en ese sistema, nada más). Obviamente esta longitud sera:

L_{p}=y_{2}^{'}-y_{1}^{'}

En el otro sistema, la longitud será:

L=y_{2}-y_{1}

Ahora bien, por Lorentz, Galileo y el amigo Einstein, tenemos que, al igual que el tiempo, las longitudes medidas en diferentes sistemas inerciales, viajando uno a “toda leche” (c o cerca de c):

y^{'}=\gamma (y-vt)

Con lo que si medimos la longitud en el mismo instante t y calculamos la posición de esos puntos en uno y otro sistema, tendremos.

y_{1}^{'}=\gamma (y_{1}-vt)

y_{2}^{'}=\gamma (y_{2}-vt)

Con lo que restando para las longitudes que tenemos antes.

y_{2}^{'}-y_{1}^{'}=\gamma (y_{2} - y_{1})

L_{p}=\gamma (L)

L = \frac{1}{\gamma} L_{p}

¿Y todo esto para que?. Pues sencillo, si calculamos el número de partículas de forma clásica y de forma relativista veremos que el número de muones no es el mismo.

Es decir, si suponemos un número grande de partículas (debido a que es exponencial la desintegración) y que la medimos a una altitud de 10000 metros, es decir, imaginamos que un detector a esa altura nos detecta 10^{8} particulas, a nivel del mar (0 metros) según el modelo clásico y, sabiendo que tardan 33 micro segundos en llegar (por la velocidad que llevan), obtendríamos un resultado, usando la formula primera del post:

N(t)=N_{0}e^{-\frac{t}{\tau }}=10^{8}e^{-15}=31

Donde t=15 \tau = 33 \mu s es decir, los 33 micro segundos son (aproximadamente) 15 periodos.

Pero, oh sorpresa, si usamos la formula relativista, el muón recorre realmente (para el, recordad que esta en un sistema inercial) 1 unico periodo ya que nuestros 10000 metros corresponden a 660 metros en su sistema y por lo tanto al final a 2 micro segundos y por lo tanto a 1 periodo, por lo que, usando la formula anterior.

N(t)=N_{0}e^{-\frac{t}{\tau }}=10^{8}e^{-1}=37*10^{6}

Una cantidad nada despreciable de 37 millones.

Este hecho se ha visto experimentalmente por Carl Anderson (la imagen que acompaña) en 1937, en un experimento donde, al principio se pensó que el que viajara a estas velocidades hacia que se generara “expontaneamente” muones cuando, realmente se trata de una consecuencia de la relativdad pese a que se conocía.

Es decir, no es que el muón (como otras partículas) se genere de forma expontanea cuando viaja a altas velocidades, sino que simplemente hay que tener en cuenta los efectos relativistas en esta (o cualquier) partícula.

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