Principio de Exclusión de Pauli

Seguro que muchos sabréis o al menos habréis oído el principio de exclusión de Pauli. Sí, ese que dice que “dos partículas idénticas no pueden ocupar simultáneamente el mismo estado” o que, más exacto es “dos fermiones idénticos no pueden ocupar simultáneamente un mismo estado cuántico”. Algo que unos han dicho que dos partículas no pueden estar en el mismo sitio y otros dicen que no pueden tener la misma función de onda.

Ahora bien, ¿por que?. Aunque pueda sonar complicado es la secuencia lógica de resolver las ecuaciones de Schrödinger (que nombre tan difícil) para dos partículas idénticas.

Voy a dar por hecho que algo de mecánica cuántica sabéis o, al menos, lo básico y que no funcionáis de oídas. Que sabéis que toda partícula tiene una ecuación de onda que nos da la probabilidad de encontrarla en una zona del espacio y que gracias a dicha ecuación de onda sabemos su energía y, lo que es mas importante, su función de onda. Y que el calculo de la energía, de la ecuación de Schrödinger se basa en la energía potencial.

Ahora bien, imaginemos el problema del pozo infinito donde se considera una zona zona de potencial 0 (de energía potencial) con dos paredes (en x=0 y x=L) donde la energía potencial es infinita y, todo lo que metemos ahí, ahí se queda por mucha energía que tenga.

Este problema imaginario es la base para aprender a calcular y resolver la función de onda a través de una ecuación diferencial sacada de la aplicación lineal que es la ecuación de Schrödinger (si todo esto os suena complicado, leedlo poco a poco).

Si en el problema del pozo infinito metemos dos partículas y añadimos que estas no interaccionan entre si tendremos que Schrödinger nos dice que:

-\frac{h^{2}}{2m}(\frac{\partial^2 \Psi (x_{1},x_{2})}{\partial x_{1}^2} + \frac{\partial^2 \Psi (x_{1},x_{2})}{\partial x_{2}^2})+U\Psi (x_{1},x_{2})=E\Psi (x_{1},x_{2})

Donde tenemos las coordenadas de las dos partículas que tienen la misma masa.

Como las partículas no interaccionan entre si (que suerte), podemos decir que:

U=U_{1}(x_{1})+U_{2}(x_{2})

Algo que nos ayuda a resolver la ecuación de Schrödinger usando las condiciones de contorno donde U=0 cuando x=0 o x=L donde, vamos en los bordes del pozo.

Tirando de la madeja, obtenemos que:

\Psi_{nm}=\Psi_{n}(x_{1}\Psi_{m}(x_{2}

Es decir, la función de onda es (porque es probabilidad) la multiplicación de las probabilidades de cada función de onda de cada partícula por separado. Es decir si la partícula n (la primera) esta en el nivel de energía 1 y la partícula m (la segunda) esta en el nivel de energía 2, la función de onda sería.

\Psi _{12}=Asen\frac{\Pi x_{1}}{L}sen\frac{2\Pi x_{2}}{L}

Pero, si en vez de la función de onda, usamos la probabilidad (para normalizar) donde, sabemos que:

P=\int \Psi\overline{\Psi}dx=\int \Psi^{2}dx

Y debido a que no podemos distinguir la partícula 1 y 2 porque son identicas tendremos que:

\Psi^{2}(x_{1}, x_{2})=\Psi^{2}(x_{2}, x_{1})

¡Vaya! y ahora que hacemos. Pues simple, construimos unas nuevas funciones que llamaremos:

\Psi_{S}=A(\Psi_n(x_{1})\Psi_m(x_{2}+\Psi_n(x_{2})\Psi_m(x_{1})
\Psi_{A}=A(\Psi_n(x_{1})\Psi_m(x_{2}-\Psi_n(x_{2})\Psi_m(x_{1})

Donde la diferencia del signo nos dirá si las funciones son simétricas o no ya que si es antisimétrica la función de onda vale 0 y sino no es nula. ¡Resuelto!.

De esta forma, si las dos partículas son idénticas, la función de onda es antisimétrica y como es nula los numero cuánticos de las partículas no pueden ser iguales.

¿Y todo este rollo a que viene?. Muy simple, vista la ultima formula con la ultima conclusión, dos partículas no pueden tener los mismos números cuánticos, puesto que en ese caso su onda es nula. Y si es nula no se puede dar. Esto es el principio de exclusión de Pauli matemáticamente contado e interpretado.

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