Geometría espacial, el espacio Minkowski

Hoy os quiero hablar, otra vez, de la importancia de la geometría espacial ya que, esta es la que nos dice como esta montado nuestro universo, por lo tanto como funciona y como lo podemos explotar.

Todos sabemos que hay mas de tres dimensiones, al menos simplemente por el hecho de vivir. Tenemos las tres dimensiones espaciales y una temporal. Para nosotros todas lineales y continuas.

Esto es lo que nuestro amigo Einstein (con ayuda) nos ha metido en el cerebro y que muchos, por ignorancia, lo han malinterpretado para sus magufadas.

Y es que, han oido, pero no entendido que la física se ha ido desarrollando a través de lo que nuestros sentidos han sido capaces de interpretar, dándolo estructura matemática que nos ha ayudado a explicarlo y comprenderlo. Dando lugar a nuevas preguntas y dudas que han hecho avanzar a la ciencia.

A partir de ahí, hemos visto que hay “cosas” que nuestros sentidos son incapaces de ver, tanto en lo más grande como en lo más pequeño, desde galaxias y nubes de gas cósmico que somos incapaces de ver, a un simple átomo, que por mucho que miremos, ni les vemos.

Einstein interpreto que el universo estaba compuesto de más de 3 dimensiones. De hecho, por su época era una idea matemática que pululaba haya por 1905 y que, como todo buen físico simplemente la interpreto en la naturaleza. Así, la gravitación de Newton la explico gracias a una nueva dimensión que no veíamos pero que era la que hacia atraerse a los objetos gracias a que la modelo como un campo vectorial.

De hecho, era tan redonda, el que hubiera una dimensión extra que atrae a los cuerpos que discípulos de Maxwell (que estudiaban la fuerza electromagnética) aplicarón el mismo principio (de modelo de campo vectorial) a dicha fuerza para, terminar indicando que existe otra dimensión que da cuerpo a electromagnetismo. Es decir que dio cuerpo de campo vectorial al electromagnetismo.

Bueno, de hecho fue al revés, de los trabajos de Maxwell y la relación entre cargas, velocidad de la luz, teoría de campos… el y Hertz dieron la base para que Einstein postulara su “dimensión extra” que explicaba la gravedad igual que el electromagnetismo. Maxwell fue anterior a Einstein y si fueron Klein y Kaluza los que indicaron que era una dimensión más.

El problema de todo esto es la interpretación. Nosotros, los humanos, somos muy cortitos sensorialmente hablando y somos incapaces de salirnos de nuestros patrones. Por eso, pensar en un mundo de más de 3 dimensiones resulta agotador y proyectar más de tres dimensiones sobre tres (algebraicamente hablando) nos da como resultado cosas que no entendemos. Es decir, pintar (por ejemplo) más de tres dimensiones en tres nos vuelve locos (ejemplo pintar un hipercubo). Por eso hemos dado vueltas a formas de interpretar un número mayor de dimensiones bajo las nuestras en gráficas y que sean comprensibles de forma que nos ayuden a tener nuevas preguntas para seguir avanzando. Un ejemplo es el espacio Minkowski.

El espacio Minkowski es una interpretación, primero visual y luego matemática de un espacio de 4 cuatros dimensiones. De hecho es una simplificación de un espacio de dimensiones superiores en un espacio de dimensiones inferiores a consta de eliminarlas.

En el, pintaremos un solo eje geométrico (o dos como máximo) y eliminaremos el tercero pintando el tiempo en el. De esta forma tendremos los conos de “existencia” ya que, como sabemos, el tiempo es continuo y constante y nadie puede viajar mas rápido que la luz. Por lo tanto, todo lo que esta dentro del cono es “conseguible, visible y llegable” mientras que lo que esta fuera, no se puede ni ver, ni llegar, ni conocer. Es simple.

Esto nos lleva a las matemáticas. Matemáticamente es una representación del espacio tiempo relativista (por eso el cono de donde llegas y donde no llegas) donde, sabemos, que el tiempo y el espacio se modifica dependiendo de quien sea el observador.

Por ejemplo. Si alguien (llamemosle A) va a una velocidad constante y recorre un espacio x en un tiempo t, para otro observador (B) que puede estar quieto o a otra velocidad constante (por eso es relativista, porque no se distingue, si vas a velocidad constante si tu sistema esta en reposo o no), el observador A habra recorrido x’ en un tempo t’ a una velocidad v. Simple.

Es decir, por relatividad especial, existe una relación entre x, x’, t y t’ que es:

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
t'=\frac{t-\frac{vx}{c^{2}}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Ahora bien, si, como vemos en el gráfico anterior donde estaba representado las coordenadas t, x, y observamos que x e y son espaciales y t es tiempo, veremos que aunque el gráfico es entendible, estamos “midiendo” o comparando tiempo con espacio, y las unidades… no cuadran. Pero, ¿y si hacemos que el eje de t se multiplique por c y sea ct?. Si x e y lo medimos en metros, ct sera metros divido por segundos multiplicado por (ejemplo) segundos, dando lugar a metros. Ya estamos midiendo y comparando lo mismo. ¡Que chulo!.

Ahora bien, como lo único que varia seria la escala, tendríamos el mismo cono y podríamos poner ahi lo que avanza uno de los dos observadores (por ejemplo A). Lo que nos daría (ya que hemos dicho que solo avanza por el eje X, por simplificar) que podemos hallar por Pitaágoras la hipotenusa formada (he cogido la imagen que hay sobre este párrafo de internet, pero se entiende lo que os estoy explicando en ella perfectamente). Y uso menos, ya que da igual solo que consideramos el espacio negativo.

{(ct')^{2}}-x'^{2}

Pero si lo hacemos desde el otro observador, podemos sustituir los valores del tiempo y del espacio relacionados anteriormente. Es un proceso matemático que voy a simplificar por aburrido.

c^{2}(t-\frac{v}{c^{2}}x)^{2}\gamma ^{2}-(x-vt)^{2}\gamma ^{2}

Con:

\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Si hacemos los cuadrados, agrupamos con gamma y simplificamos de lo agrupado lo mismo (en un sitio esta en negativo y en otro en positivo (negativo de negativo), tenemos:

\gamma ^{2}[c^{2}t^{2}-x^{2}(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})]

Donde, si observamos (y este es el paso bonito y chulo) gamma al cuadrado y lo que acompaña a la x en las nuevas coordenadas es lo mismo, con lo que podemos simplificarlo. Y obtenemos, finalmente:

{(ct')^{2}}-x'^{2} = {(ct)^{2}}-x^{2}

Es decir, que es lo mismo y es un invariante. ¡Que curioso!.

Luego es una forma de representar el espacio tiempo que, si la pintamos sobre la gráfica anterior es una hipérbola apuntando hacia abajo (no os riais de mi mal dibujo, así entendereís porque cojo las imágenes de gente que lo hace mejor que yo) y que es el espacio de Minkowski.

El espacio de Minkowski se usa para representar un espacio sin curvatura para objetos que estén en el que no se relacionen y su grandísima utilidad es para definir el tiempo exacto que es aquel en el cual todos los observadores coinciden. Una medida de tiempo universal que en la zona anterior, si llamamos:

S = {(ct)^{2}}-x^{2}

Tendremos que el tiempo universal es cuando alguien no se mueve y por lo tanto x=0:

\tau = \frac{S}{c}

Es decir, del espacio de Minkowski, que, matemaáticamente se puede representar como una transoformación matricial:

\begin{pmatrix}  -1 & 0 & 0 & 0 \\   0 & 1 & 0 & 0\\   0 & 0 & 1 & 0\\   0 & 0 & 0 & 1  \end{pmatrix}

Al ser un espacio de curvatura nula, hemos concluido que podemos sacar una unidad de medida de tiempo universal para cualquier sistema de inercial de forma que todos esten de acuerdo con esa unidad y medida de tiempo vayan a la velocidad que vayan. Vamos, que de la geometría de algo que no vemos hemos sacado algo que nos sirve para el mundo que somos capaces de observar con nuestros sentidos.

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