Efecto Compton

Hoy os quiero hablar de una de las bases de la mecánica cuántica o una de las demostraciones de la existencia de dicha mecánica que es el efecto Compton.

Arthur Compton, un físico Estadounidense obsesionado por la mecánica cuántica estuvo dando vueltas al efecto fotoeléctrico y los choques entre fotones y electrones. Y es que estaba obsesionado en saber cuanta cantidad de energía se transfería de un fotón o cualquier partícula con cierta longitud de onda y un electrón de un átomo.

Para comprobar el porque y calcular la longitud de onda del fotón o de la partícula tras chocar opto por usar partículas muy energéticas (rayos X, de longitud muy pequeña y por tanto alta energía) contra carbón debido a su cantidad de electrones y su capacidad de valencia (vamos que se une a otras cuatro cosas).

Tenemos que por la teoría electromagnetica la energía y el momento de una onda están relacionados por:

E = pc

Luego, también tenemos que la energía de un fotón es:

E = hf

Donde h es la constante de Plank y f es la frecuencia.

Uniendolo todo, tenemos que:

p=\frac{E}{c}=\frac{hf}{c}=\frac{h}{\lambda }

Que es el momento lineal de un fotón

Si el choque es como el de la imagen que encabeza el post, y suponemos que el electrón esta en reposo, tendremos que el momento lineal inicial ha de ser igual al momento lineal final, obviamente. Y el momento lineal inicial es solo el del fotón (porque el electrón esta en reposo) mientras que el final sera la suma del fotón y el del electrón. Es decir, vectorialmente tendremos que:

\overrightarrow{p_{inicial foton}}=\overrightarrow{p_{final foton}}+\overrightarrow{p_{final electron}}

Como tirar con vectores no es plan, podemos hallar el escalar multiplicándolo por si mismo, un viejo truco matemático a cambio de añadir el coseno del angulo de salida respecto al de entrada.

p^{2}_{foton inicial}=p^{2}_{foton final}+p^{2}_{electron final}-2p_{foton final}p_{electron final}cos\Theta

Ahora bien, como esto no es mecánica clásica sino mecánica relativista, sorpresa, tenemos una ecuación que relaciona la energía con su momento:

E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}

Así que, si la aplicamos al momento (curiosamente, lo tenemos al cuadrado, que cosas) y sabiendo el maravilloso principio de conservación de energía, tenemos que.

p_{foton inicial}c+m_{electron}c2^{2}=p_{foton final}c+\sqrt{p^{2}_{electron final}c^{2}+(m_{electron}c^{2})^{2}}

Donde poco hay que decir que c es la velocidad de la luz en el vacío.

Si de todo este embrollo eliminamos los momentos de los electrones de las ecuaciones tenemos al final que:

\lambda _{final} - \lambda _{inicial}=\triangle \lambda=\frac{h}{m_{electron}c}(1-cos \Theta )

Que es la ecuación de Compton que le dio el premio Nobel y que nos da la diferencia de frecuencia entre una partícula de entrada y la de salida o, lo que también es importante, saber el angulo de dispersión de las partículas.

Ademas el efecto Compton explica algo muy importante y es que todas las partículas vibran (aunque vibren menos que su tamaño de átomo) explicando la dualidad partícula/onda de todo lo que conocemos y, principalmente, de la luz al ser, en aquella época fácil de medir su longitud de onda.

Es curioso como una formula tan pequeña venida de la mecánica clásica donde hemos metido un termino de mecánica cuántica une ambos mundos y, sobre todo, explica un fenómeno muy importante.

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