Calculo del trabajo a través de una trayectoria con un campo vectorial

Hoy os quiero contar una tontería muy sencilla de entender y que nos puede valer para echarnos unas pequeñas risas.

Hace tiempo os conté la diferencia entre un campo vectorial y un campo escalar pero no os conté un ejemplo práctico de uso.

Esta es la razón por la que hoy os quiero hablar de el calculo del trabajo que ha de hacer una partícula para moverse por una trayectoria en un campo vectorial.

Para ello, la mejor forma es un ejemplo. Por eso supongamos que tenemos un campo vectorial de la siguiente forma (que ademas es muy importante y curioso) \overrightarrow{F}= -y\widehat{i} + x\widehat{i}.

Este campo, si lo dibujamos en un eje de coordenadas x, y, veremos que se trata de círculos cuyo véctor es mayor cuanto más alejados estemos del centro. Exactamente como se representa en la imagen que titula este post.

Ahora imaginemos que dentro de este campo vectorial tenemos una partícula que sigue una trayectoria determinada en un tiempo. Es decir, la partícula sigue una curva parametrica tal que y=0, x=t. Es decir, se mueve por el eje X.

¿Que trabajo hará?. Primero definamos el trabajo. El trabajo en si es la energía que debemos dar a una partícula para que modifique su energía, en este caso, su energía cinética dentro del campo. Luego:

T=\overrightarrow{F}\cdot \bigtriangleup \overrightarrow{r}

Es decir, la formula clásica nos dice que es la Fuerza que actue sobre la particula (o la suma de ellas) por la distancia que recorre salvo que, en este caso, la hemos puesto en modo vectorial, nada grave.

Ahora bien, si la particula sigue una curva en el campo tendremos que el trabajo sera ahora:

T=\int_{c}^{ } \overrightarrow{F}\cdot \bigtriangleup \overrightarrow{r} = \lim_{\triangle \overrightarrow{r_{i}} \to 0}\sum_{i}^{ } \overrightarrow{F}\cdot \triangle \overrightarrow{r_{i}}

Donde, lo que hemos hecho es dividir la curva en pequeños trozos y calcular la suma de los “mini trabajos” (a traves de la integral que es el limite), nada que cualquiera de vosotros no sabría hacer.

Sí ahora cogemos y hacemos que:

\triangle\overrightarrow{r}=\frac{\triangle \overrightarrow{r}}{\triangle t}\triangle t=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}dt

Donde lo único que hemos hecho es dividirlo y sumarlo por los incrementos de tiempo que tarda la particula en recorrer la curva (y, como son incrementos infinitesimales, prácticamente son derivadas), al final, tenemos que:

T=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\overrightarrow{F}\cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{dt}dt=\int_{t_{0}}^{t_{1}}\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{v}dt

Donde, hay que recordar que es un producto vectorial.

Volviendo al ejemplo que tenemos ya que hemos hecho el trabajo más complicado, calculemos:

Donde, obviamente, primero hemos sustituido el campo vectorial por sus valores y luego estos por la curva, y también hemos hecho las derivadas de la curva en el tiempo.

El caso es que el resultado obtenido es algo que sabemos si dibujamos el recorrido de la partícula en un eje de coordenadas con el campo. Observaremos que las fuerzas del campo están perpendiculares siempre a la curva (a la trayectoria) y, como sabemos, el trabajo así realizado es 0.

Variando la curva podemos calcular otros tipos de trabajo (si nos hace falta, claro) e incluso podemos acotarlos a una horquilla de tiempo determinada a fin de calcular, con exactitud, el trabajo que habremos de realizar (o que el campo realizara por nosotros, a la partícula. Recordad que si el trabajo sale positivo, le tenemos que hacer nosotros, mientras que si sale negativo, es el campo el que lo hace.

Esto es un ejemplo de calculo de trabajo un poco más complicado que el que enseñan a los críos en los institutos pero es lo suficientemente fácil de entender para estos y ver como se puede calcular dicho trabajo en un campo vectorial que no tiene porque ser uniforme y con un movimiento de una partícula que no tiene porque ser lineal.

Yo os recomiendo que juguéis y hagáis ejemplos de, por ejemplo, si la curva, la trayectoria fuera x=0, y=t (es decir, que sigue la linea de campo totalmente), x=t, y=t (este es muy curioso, y mirando el gráfico, por simple observación sabréis porque (truco: coordenadas polares) o cualquier otro que se os ocurra.

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