Integrales dobles

Todos sabemos, y si no lo sabéis o recordáis, para eso estoy yo, que el porque de las integrales es para, en principio, calcular el área soportada por una función en dos dimensiones. Y que, gracias a las integrales, tenemos el teorema fundamental del calculo.

Una integral doble es un caso similar al anterior y es que, en el mundo en el que vivimos, podemos calcular el “área” (que en este caso es un volumen) bajo una superficie de dos dimensiones. Es decir, una integral doble vale para calcular el volumen existente tridimensional limitado por una superficie. Simple.

Si en una integral de toda la vida, llamamos dominio a la zona por la que integramos, es decir, si tenemos una función f(x), el dominio son los limites de dicha integral, es decir los valores donde x=a y x=b. En el caso de una integral doble, el dominio de integración es una superficie, una curva (cerrada) y lo que nos da la integral es el volumen de dicha superficie respecto a otra.

\iint f(x,y)dA sobre el dominio D

En el concepto de integral doble, hacemos exactamente lo mismo que una integral simple y si en esta hacíamos partes infinitesimales de las cuales calculábamos el área y, su suma (suma de Rienman) era el valor de la integral, en la integral doble hacemos lo mismo pero con “áreas” infinitesimales cuadradas de ancho y alto infinitesimal para, con estas, conocidas la base y la altura, calcular el volumen. Si sumamos todos estos volúmenes infinitesimales haciendo una suma de Rienman, obtenemos el volumen total. Muy simple de entender.

Matemáticamente decimos que la función f(x,y) es integrable sobre el rectángulo D y tiene integral doble

I= \iint f(x,y)dA sobre el dominio D

si para todo número positivo \epsilon existe un número \delta que depdende de \epsilon tal que, si la suma de Rienman la llamamos R

Donde P es una partición que no es más que los rectángulos en los que hemos dividido D y cumple que toda partición (ya que podemos elegir la partición que queramos) es menor que delta para cualquier elección de puntos que tomemos.

Todo esto que suena muy complicado es bastante simple y nos dice que la integral sera la suma de los volúmenes y que, podemos aproximar la integral a la suma de Rienman tanto como queramos cuanto mas trocitos (particiones) hagamos (de ahi la diferencia entre la integral y la suma de Rienman podemos hacerla menor que cualquier número).

Lo único a tener en cuenta, cuando hagamos una integral doble es que dA=dxdy o que, mejor dicho y dependiendo de como tomemos el área (por como nos interese) hay que ver que el área tomada no tiene que ser base por altura sino que pueden ser otros términos mejores dependiendo de la función. A veces, lo que se hace, si el dominio D no es rectangular, es coger un dominio más grande y rectangular (R) indicando que fuera del dominio D f(x, y) vale 0. Vamos que lo que anda fuera de D y pertenece a R vale 0, no contribuyendo, en la integral para nada.

Obviamente, de aquí podemos sacar que tiene unas propiedades (la integral doble) similares a la integral simple, así y suponiendo todas restringidas al dominio D:

  1. \iint f(x,y)dA = 0 si el área es 0
  2. \iint 1dA es el área de un cilindro de base D y altura 1
  3. Que la integral y por lo tanto el volumen puede ser positivo o negativo
  4. \iint (Lf(x,y)+Mg(x,y))dA=L\iint f(x,y)dA + M\iint g(x,y)dA

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