Método de los mínimos cuadrados

Alguno os preguntareis, ¿como se calculan y se sacan esas constantes universales que meten los físicos en las formulas?. Sencillo, se sacan a base de experimentación.

Cuando uno formula una formula para explicar un proceso natural y, poder calcular, los resultados prácticos obtenidos nunca concuerdan exactamente con la formula planteada. Todo se debe a pequeños errores de calculo debidos a los aparatos que se usan o, simplemente, a errores humanos.

Por eso, lo que se suele hacer es una media de valores obtenidos para ver cual es el valor real y, de esta forma, ajustar la formula o la constante que se usa en la formula. Recordad que las constantes de las formulas son multiplicadores de ajuste de la formula a los valores reales que se obtienen… “ñapas” como diría un ingeniero debido a la instrumentación.

Así que, imaginemos que hacemos un experimento para medir la constante de la gravedad (ya sea por un péndulo o dejando caer libremente a una altura conocida un peso conocido). Si hacemos el experimento n veces obtendremos n valores que estarán todos dentro de un rango.

Supongamos que la constante que se quiere medir es g y repetimos n veces oteniendo g_{1}, g_{2},...g_{n} valores. ¿Cual sería el valor de g matemáticamente hablando?.

Ayer, no lo recordareis, pero os hable de la optimización de valores, luego podemos partir de esa base. Así, podemos elegir el valor que minimiza la distancia entre el valor g y cada uno de los obtenidos. Es decir, tendríamos la siguiente función que habría que minimizar:

F=|g-g_{1}|+|g-g_{2}|+...+|g-g_{n}|

Si usamos esta formula, que en principio, minimizando la distancia, obtendríamos el valor de g correcto veriamos que tiene un grave problema: necesitamos una cantidad ingente de puntos. Es decir, a mas puntos, a mas veces que hagamos el experimento y más valores obtengamos, con mejor calidad obtendremos g. Por ejemplo, si hacemos 2 valores, g estaria en el intervalo entre ambos valores siendo un intervalo muy grande. Vamos, que no sirve.

¿Como podemos mejorarlo?. Pues haciendo que la función F tome valores mayores y por lo tanto, el minimo sea más certero. Por ejemplo usando:

F^{2}=(g-g_{1})^{2}+(g-g_{2})^{2}+...+(g-g_{n})^{2}

Donde al estar elevada al cuadrado, si minimizamos esta función, las distancias, serán menores y el calculo de g será más optimo. Ademas, la nueva función, es suave, y como hemos visto de curvas suaves, sus puntos críticos están en sus valores máximos o mínimos, aunque en nuestro caso estará, el punto crítico, en un mínimo.

¿Y como sabemos que sera un mínimo?. Simplemente mirad como es la función cuadrado donde el único punto critico es el mínimo y, por lo tanto, en nuestra función que es una suma de cuadrados, sucederá exactamente lo mismo. Muy simple.

Volviendo al tema, diferenciemos la nueva función en función de g:

0=\frac{\partial F^{2}}{\partial g}_{g=\bar{g}}=\sum_{i=1}^{n}2(\bar{g}-g_{i})=2n\bar{g}-2\sum_{i=1}^{n}g_{i}

Donde tenemos cosas nuevas ahí. Primero hemos diferenciado en función de g (obvio) y hemos añadido el valor medio (que seria g) de forma física, es decir, hemos llamago \bar{g}=g.

De la ecuación anterior, despegemos el valor medio de g, recordad \bar{g} y obtendremos:

\bar{g}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}g_{i}

Algo que, nuestra cabeza nos dice que es el valor medio pero lo que hemos hecho es aplicar el método de los mínimos cuadrados.

Al final no es más que álgebra y por lo tanto un tema vectorial. No es más que imaginar cada uno de los valores de g calculados como un vector, es decir, \vec{g}=(g_{1}, g_{2},..., g_{n}) que sería un vector en un espacio vectorial de n dimensiones y, ademas, suponemos un vector \vec{v}=(1, 1,...,1), vamos que todas sus componentes en este espacio vectorial de n dimensiones es 1, un vector unidad.

Si proyectamos el vector \vec{g} sobre \vec{v} tendremos lo siguiente:

\vec{g_{v}}=\frac{\vec{g}\cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^{2}}\vec{v}

Que, nos daría exactamente lo mismo que de la forma anterior, obviamente al ser \vec{v} un vector unidad. ¡Genial!.

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