Vector tangente unitario

Como quiero que aprendáis un poco de geometría diferencial, que no es tan complicada como la pintan o como suena y visto que me imagino que habréis visto mis post anteriores sobre el operador nabla y los campos, voy a iniciar una serie de post que acabaran con el sistema de referencia de Frenet, una cosa muy chula.

Empecemos definiendo lo que es una curva suave y un movimiento paramétrico.

Cuando algo se mueve en el espacio lo que esta haciendo es variar su posición en relación al tiempo, es decir, un punto, un objeto, varia donde se encuentra según va pasando el tiempo.

Los puntos donde el objeto (o el punto de aquí en adelante) cambia su posición se llama trayectoria. En un mundo de dos ejes (X, Y o i y j) la posición de la partícula, la trayectoria, puede ser de cualquier tipo. No vamos a entrar en si hay fuerzas que lo obliguen o no, solo que si una partícula la observamos en un intervalo de tiempo t definido, por ejemplo entre dos valores cada una de las coordenadas las podemos corresponder con una función. Así:

x=x(t)
y=y(t)

Por lo que podríamos decir que la trayectoria la podríamos definir tal que así:

\overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}(t)

Por esa razón tendríamos ademas, en la trayectoria, una cosa llamada dirección. Y por lo tanto r seria una función según un parámetro que sería t.Pongamos un ejemplo en tres dimensiones.

Imaginemos una partícula que sigue el siguiente recorrido que lo podemos asemejar a esta función.

En definitiva es una partícula que sigue, en dos de sus ejes (i y j) dibuja un circulo de amplitud a y en el eje k (el Z para los amigos) lo recorre a velocidad constante según b. Vamos, un tornillo. Lo bueno es que sabemos la dirección por como aumenta el tiempo.

El caso es que a esa trayectoria la llamamos curva y decimos (por definición) que es un curva suave ya que sus derivadas parciales no son todas cero al mismo tiempo. Esto, que parece una tontería es fundamental para saber que es continua, simplemente y no tiene “trozos” raros.

De la trayectoria del ejemplo, por ejemplo (valga la redundancia) podemos calcular la velocidad (ya sea vector o cantidad) sabiendo que:

\overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}

Y que la velocidad (en cantidad) no es mas que:

v=| \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} |

Si nos fijamos en como hemos calculado la velocidad (vector) nos daremos cuenta de una cosa. La velocidad es siempre tangencial a la curva. Es decir, por el mero hecho de ser el diferencial (parcial) tenemos que siempre es un vector tangencial a la curva, lo que nos da la definición del post de hoy el vector tangente unitario.

\widehat{T}(t)=\frac{\overrightarrow{v}(t)}{v(t)}=\frac{\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}}{| \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} |}

Eso sí, si la curva tiene una velocidad continua, el vector tangente es una función continua de t como se puede ver.

Si consideramos ahora, ya puestos y que no nos cuesta nada, el angulo que forman el vector tangente unitario y cualquier vector unitario de la base elegida, tendremos que:

\phi (t)=cos^{-1}\widehat{T}(t)\cdot \overrightarrow{u}

Donde \overrightarrow{u} es uno de los vectores unitarios de la base elegida (el que nos guste) y por lo tanto la curva sera suave si la tangente varia de forma continua. ¡Que bonito!

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