Vector normal

Ayer, si recordáis, os conté que era el vector tangencial (unitario) a una curva o a trayectoria, por eso mismo hoy os voy a contar como calcular y que es el vector normal. Otro concepto de geometría diferencial muy sencillo si habéis entendido lo de ayer.

Como sabemos, una derivada nos da el vector tangencial, por esta razón ¿que pasa si derivamos el vector \widehat{T}(s)?. Juguemos un poco con el antes a sabiendas, espero y creo, que las operaciones algebraicas con vectores las tengáis claras.

Recordemos que:

\widehat{T}(s)=\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}

Por lo tanto, obviamente, se ha de cumplir:

\widehat{T}(s)\cdot \widehat{T}(s)=1

Ya que la proyección de un vector sobre si mismo (la multiplicación de punto), es el propio vector. Ahora, si diferenciamos, otra vez y suponemos de serie que \overrightarrow{r}(s) tiene derivadas continuas de orden superior (porque sino, se nos cae), tenemos que:

\widehat{T}(s) \cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{ds} = 0

Lo que nos da, obviamente, por algebra y las propiedades de la multiplicación de vectores cuando valen 0, que el vector:

\frac{d\overrightarrow{r}}{ds} \perp \widehat{T}(s)

Vamos que su diferencial es perpendicular. Y esto seria una definición del vector normal al tangencial anteriormente contado.

Ahora bien, como el anterior (y os adelanto que estamos creando una base de coordenadas, como veréis mucho más adelante), lo bonito es calcular su vector unitario, algo que no obliga a sacarnos una definición de la manga (bueno, un par).

Y es que, como sabemos, la curva, la trayectoria, no tiene porque ser rectilínea sino que, al ser función de un parámetro (sus coordenadas) puede tomar “cualquier forma”. Como puede tomar cualquier forma y, hemos puesto como base que sea “suave” (es decir, que sea continua para que funcione la mandanga de sus derivadas), la única figura geométrica que une muchos puntos que varían según un parámetro es… una curva. Y, hombre, una curva tiene una particularidad, que es curva (redundante) y por lo tanto tiene curvatura.

¿Como medimos la curvatura de una curva?. Simple:

\kappa (s)=\left | \frac{d\widehat{T}}{ds} \right |

Donde \kappa (s) es la curvatura de la curva que, por definición:

\kappa (s)\geq 0 \Rightarrow \kappa (s) \neq 0

Es decir, la curvatura es siempre un valor positivo (por haber cogido el valor absoluto) y nunca ha de ser 0 porque si la curvatura es 0, es una recta. Obviamente, la curvatura dependerá, porque es una diferencial de una función, del punto donde la calculemos y, sino, simplemente sera una función (también). Es decir, que la curvatura es una función que varia (en nuestro caso) según la superficie. No es nada complicado de entender.

Con esta definición sobre la mesa ya podemos calcular el vector normal unitario, que será:

\widehat{N}(s)=\frac{1}{\kappa (s)}\frac{\widehat{T}}{ds}

El secreto de todo esto es que ahora la normal esta perfectamente definida con su dirección ya que, sino podríamos tener infinitas normales apuntando a dos direcciones. Y que ademas, al igual que la tangencial varia en la curva, la normal, varia igualmente con ella. Un ejemplo lo tenemos en la imagen titula el post.

Recordad, por último, que todo esto que os estoy contando es a través de funciones, no de valores y sus cálculos o sus definiciones (por ser funciones) son sus derivadas. De ahí que sea geometría diferencial.

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