Que es la geometría diferencial

Muchas veces, creo, que me habéis leído hablar sobre la geometría diferencial sin, en el fondo, entender de que diablos estoy hablando, con lo que hay llegado el momento de explicaros un poco de que va este bonito asunto.

La geometría, como su nombre indica, nos habla de las formas, es la parte de las matemáticas que estudia los puntos en el espacio y lo que, como conjunto de puntos, forman. Es decir, rectas, lineas curvas, planos, esferas, toroides… la geometría las estudia, estudia sus propiedades, sus representaciones, el paso de unos tipos a otros, sus relaciones (que pasa con una recta y un plano, por ejemplo), etc.

La geometría ha sido básica en muchos campos, como por ejemplo, el plano que tenéis cuando abrís vuestro navegador para ayudar a representar esto de forma más sencilla, pasando a, por ejemplo, nos ayuda a saber cuanta luz recibe un azulejo de nuestra casa al tratar la luz y el azulejo geométricamente. O, incluso, nos ayuda a lanzar un cohete y que llegue a la Luna ya que es la base de lo que nos ayuda a saber, calcular y representar correctamente las trayectorias de todos los objetos que ahi se cuentan (Tierra, Luna, cohete…).

La geometría es muy vieja y tenemos que dar las gracias a los Griegos. Griegos como Euclides, matemático, que se dedico a estudiar las relaciones entre los objetos de dos dimensiones de forma vectorial y que, baso, la geometría en los tres ejes que vemos todos los días: x, y y z, alto, largo y ancho. La geometría Euclidea es la base.

La base de la geometría Euclidea se basa en unos postulados, donde, el más famoso es que por un punto que no pertenezca a una recta pasa, únicamente, una recta paralela a la primera. Los postulados de Euclides son todos totalmente necesarios ya que no pueden darse unos sin los otros y son, como he dicho, básicos.

Todo iba muy bien hasta que llego Newton y se empezó a fijar en las trayectorias que siguen los cuerpos, que no tienen porque ser rectilíneas y empezó el llamado calculo diferencial. Newton, junto a Leibniz en el siglo XVII fueron los creadores de la geometría diferencial principalmente al observar trayectorias curvas y calcularlas. El calculo de la curvatura de una curva se realiza a través de su primera diferencial sabiendo que la diferencial es la recta tangente a una curva en un punto y por lo tanto lo que varia esta diferencial en cuanto varia el punto en la recta nos da su grado de curvatura. Es simple. Y por eso se les considera los padres de la geometría diferencial.

Tras este importante avance en trayectorias, el paso obvio era hacer lo mismo para superficies. Clairaut en el siglo XVIII fue el primero en darse cuenta que cualquier superficie se puede calcular como las soluciones de una ecuación en tres dimensiones (es decir, con tres incógnitas). Es decir, que si tenemos una única ecuación con tres incógnitas (y por lo tanto dos parámetros), el resultado de dicha ecuación es una superficie. Con esta base, se pueden calcular superficies de menor orden (por ejemplo una linea no es más que la solución -en tres dimensiones- de un sistema de dos ecuaciones con un parámetro o un grado de libertad).

Junto a Clairaut tenemos a Euler, el padre de darse cuenta que vivimos en una esfera y que aparte de los tres ejes podemos calcular y ver las cosas con otro sistema de referencia, las geodésicas. Es decir, simplemente se dio cuenta que sobre una esfera (imaginemos en dos dimensiones) es igual de valido, más rápido y más sencillo de hacer cálculos el tener como coordenadas la distancia y el angulo. En tres dimensiones, pasa exactamente igual y de ahí que usemos la latitud y la longitud que no son más que los ángulos para ubicar un punto en el globo terrestre. Facilísimo.

De aquí a la actualidad nos queda un paso y es que (Euler ya empezó) podemos calcular superficies y trayectorias en otro tipo de base (sistema de referencia) a través de diversas superficies como solución de ecuaciones en esos sistemas. Es decir, unimos todos los pasos anteriores.

Es decir, si tomamos sistemas no Euclidianos tenemos que repetir todo lo que este hizo estudiando las propiedades de los objetos, superficies, etc y a la par calcular formas y trayectorias en estos. El estudio de estas funciones y propiedades de cada tipo de geometría y sus objetos es de lo que trata la geometría diferencial.

Existen adalides como Gauss que observo que pese a que usemos el sistema que queramos existen ciertas propiedades que son invariantes. Es decir, vio que bajo ciertas transformaciones las propiedades no varían, una gran base que simplifica mucho los cálculos. O tenemos a Lobachevski y a Bolyai los cuales demostraron que existen ciertos tipos de geometrías en los cuales el postulado base de Euclides no valía, es decir, en un punto pueden pasar más de una paralela a otra siendo esto una particularidad de la geometría Euclidea. Mola.

Finalmente, no podemos hablar de geometría (diferencial) sin hablar de Riemann (Siglo XIX). Rienmann puso la base de la descripción de cualquier geometría, es decir, puso la base de la forma en que hay que describir una geometría a fin de poder hacer todo lo anterior que hemos visto, calcular sus propiedades, objetos, puntos, aplicaciones, funciones… para ello simplemente hay que dar una variedad de elementos y sus coordenadas en el sistema de referencia que creemos, y explicar como se calcula la distancia entre ellos. El secreto es que puntos o variedades infinitamente próximas (vamos tan cercanas como queramos) se han de contar según la geometría Euclidea, cerrando el circulo de los cálculos.

La geometría diferencial es muy importante ya que, al poder definir nuevos espacios geometricos (por ejemplo, como hemos visto, un mundo esfera, un mundo en un toroide -donut-, una cinta de moebius…) podemos ver, calcular, sacar las propiedades de espacios de dimensiones infinitas (matemáticamente hablando). El ejemplo práctico es que gracias a la geometría diferencial Einstein pudo lanzar su teoría de la relatividad al estar basada en un espacio de cuatro dimensiones con una topología y geometría particular o la teoría de cuerdas al basarse en hiperespacios con sus propiedades.

La geometría diferencial ayuda a las personas de ciencia a crear espacios nuevos que se adapten mejor a la realidad de forma que los cálculos puedan ser más sencillos y los resultados, por lo tanto, más fáciles de entender a la par que se puedan “transferir” a formas más complejas pero entendibles para la gente de la calle. Y los heroes de los que he hablado han sido, en parte, los creadores de las bases necesarias para poderlo realizar con rigor.

Es una disciplina muy dura ya que requiere tener una mente e imaginación abierta a modo de que ayude a poder representar mentalmente espacios topológicos diferentes al que estamos acostumbrados a ver todo el día.

Commentarios