Operador nabla

Si recordáis ayer os comentaba acerca de las diferentes formas de decir lo mismo en matemáticas hablando del gradiente y como los físicos lo escribimos de forma diferente a los ingenieros.

Hoy os quiero hablar del operador nabla. El operador nabla se define como (en coordenadas cartesianas):

\overrightarrow{\bigtriangledown}=\frac{\partial }{\partial x}\overrightarrow{i}+\frac{\partial }{\partial y}\overrightarrow{j}\frac{\partial }{\partial z}\overrightarrow{k}

Bajo este paréntesis tan complicado de ecuación es algo que vimos ayer y no es mas que la parcial de cada coordenada por el vector unitario de la coordenada en cuestión. Es decir, la varianza en cada una de las coordenadas.

Como veis he usado esta vez una notación diferente, más física, a fin de que, si me seguís leyendo, nos vayamos acostumbrando un poco al asunto de lo que soy.

Obviamente el operador nabla difiere (como vimos) en según que sistema o (mejor dicho) base elijamos. Así, por ejemplo, si usamos coordenadas esféricas, lo primero que tenemos que sacar es la relación de la aplicación que nos lleva de cartesianas a esféricas.

x=r sen\theta cos \phi
y=r sen\theta sen \phi
z=r cos \theta

Por supuesto sabiendo que \phi es el ángulo que forma con el eje Z o eje K (el que va hacia arriba) y \theta es el ángulo que forma con el eje X o eje I. Por eso nabla ahora sera:

\overrightarrow{\bigtriangledown}=\frac{\partial }{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }\overrightarrow{u_{\theta }}+\frac{1}{rsen\phi }\frac{\partial }{\partial \phi }\overrightarrow{u_{\phi}}

Nada nuevo que no sepamos.

Ahora bien, el operador nabla hay que tener muy en cuenta que es vectorial y devuelve un vector. Esto es fundamental. Al contrario que el gradiente que devolvía un numero.

Operar con un “operador” vectorial (suena complicado pero no lo es) da muchas ventajas ya que tenemos bonitas operaciones entre vectores que podemos aplicar, así tenemos que:

\bigtriangledown \varphi =\overrightarrow{\bigtriangledown }\varphi
divergenvia (\varphi) =\overrightarrow{\bigtriangledown }\cdot \varphi
rotacional (\varphi) =\overrightarrow{\bigtriangledown }\times  \varphi

Es decir, nos permite definir unos nuevos conceptos como la divergencia y el rotacional de un vector.

La divergencia que, como vemos es el producto escalar de nabla y un vector nos indica cuanto dicho vector va hacia una zona determinada (va o se va). Nos ayuda a saber si hay fuentes o sumideros cerca, es decir, si en vez de un vector lo aplicamos a un campo vectorial nos indica si el campo va o se aleja de uno o varios puntos. Recordad que el producto escalar nos da, matemáticamente la representación de cuanto de un vector hay sobre otro y por esa razón nos ayuda a saber cuanto del gradiente del campo hay sobre el propio vector y por lo tanto cuanto se moverá una partícula según el gradiente. Suena complicado pero no lo es en absoluto.

Respecto al rotacional que es el producto vectorial de nabla contra el vector, como sabemos que el producto vectorial nos da “cuanto gira” nos indica cuanto del campo hace girar al vector, es decir, en que magnitud el vector esta girando. Obviamente, como es un producto vectorial existe un teorema (de Stokes) que nos ayuda a calcular dicho valor sobre una superficie en vez de sobre un punto como se hace con nabla.

Ademas de las cosas extras que nos permite saber, podemos aplicar el operador nabla varias veces, es decir, podemos aplicarlo, por ejemplo 2 veces, que nos daría el denominado laplaciano muy importante que definimos como:

\bigtriangleup =(\triangledown \cdot \triangledown )=\triangledown ^{2}

Que no hay que confundir con el incremento ya que es totalmente diferente al ser este vectorial.

El laplaciano da para mucho con lo que lo detallare en otro post.

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