Multiplicador de Lagrange

En mi serie de explicaros un poco de funciones de varias variables, su analisis, que esta incluido en la geometría diferencial, hoy os quiero hablar de algo, en si, poco conocido, el multiplicador de Lagrange.

Lagrange fue un gran matemático y físico del siglo XVIII y XIX a cuyo nombre tenemos asociadas muchas contribuciones como la mecánica Lagrangiana (la que damos a los niños en la escuela), los conocidos puntos de Lagrange donde la suma de fuerzas solo nos da la gravedad o todo el tema de ecuaciones y formas cuadráticas con su clasificación entre otras muchas.

Yo voy a destacar lo que se denomina el multiplicador de Lagrange y que sirve para calcular máximos y mínimos (y puntos de silla) en funciones de varias variables a través del uso de gradientes.

Obviamente, me imagino que todos vosotros sabréis lo que son máximos y mínimos en funciones. Brevemente y en una función de una sola variable, si tomamos un intervalo (un rango, ya sea abierto o cerrado o semi cerrado o semi abierto), podemos acotar la función a un valor ya sea un valor muy bajo (un mínimo) o un valor muy alto (un máximo). Es decir, la función tomara un valor el cual el resto de valores de dicha función en el intervalo son (en el caso de un mínimo) mayores que este siempre o (para el caso de un máximo) menores que este. Matemáticamente y más fácil de entender, en el caso de un máximo.

$latex y=f(x) \Rightarrow [(a,b)]\in x \Rightarrow \exists M/ f(x)=y< M \vee [(a,b)] $

Pues bien, para funciones de varias variables, el caso se complica, justamente por tener varias variables, y necesitamos lo que se llama una función de restricción. Ahora veréis porque.

Sabemos que el gradiente de una función siempre es normal a la función que lo describe, a la curva que genera, así por ejemplo, si tenemos la función:

f(x,y)=x^{2}+y^{2}

Su gradiente sera:

\triangledown f =  (2x, 2y)

Por supuesto, teniendo claro que el gradiente de una función es un vector y por eso es normal a la curva.

Entonces, ¿como podemos calcular los mínimos y máximos de una función de varias variables?. Simple, como hemos dicho, este multiplicador necesita de una función de restricción que es la función que nos ayuda a calcularlo y la que nos da el asunto.

Enunciemoslo:

Sea f una función de varias variables, por ejemplo de 3 variables x, y, z las cuales, independientes para la función f están relacionadas a través de la función g en la forma g(x, y, z)=c. Podemos observar que la función g nos describe curvas a un valor constante.

Ambas funciones serán tangentes si y solo si:

\triangledown f = \lambda \triangledown g

Que, recordad que se convierte en:


\frac{\partial f}{\partial x}=\lambda \frac{\partial g}{\partial x}
\frac{\partial f}{\partial y}=\lambda \frac{\partial g}{\partial y}
\frac{\partial f}{\partial z}=\lambda \frac{\partial g}{\partial z}
g(x, y, z) = c

Donde, \lambda es el multiplicador de Lagrange que puede ser positivo o negativo y como estamos calculando sobre la función f nos indica que el punto o puntos que nos de el multiplicador han de ser mínimos o máximos (o puntos de silla).

¿Pero como sabemos que son?. Sencillo, la mejor forma es ver la función, hacia donde va, es decir, calcular el valor de la función en otros puntos y observar el valor que toma también la función en los puntos calculados, al final es la forma más fácil de saber que tipo de punto es.

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