Gradiente

La notación matemática es algo que, muchas veces, complica las formulas que vemos, principalmente porque según quien la haga esa es la que usa.

Vamos, que la notación de las cosas no es unica y ademas, existen multitud de simbolos que no se diferencian mucho entre si, lo que da errores.

Hoy os voy a hablar del gradiente. El gradiente no es más que la derivada direccional de un campo escalar. Es decir, si tenemos un campo escalar y derivamos en una dirección determinada el resultado es la variación de como varia dicho campo en esa dirección, el gradiente.

Si tenemos un campo escalar \varphi(\overrightarrow {r}) y derivamos en la dirección del vector \overrightarrow{v} tenemos:

\frac{d\varphi }{ds}=\lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{\varphi(\overrightarrow{r} + \Delta s\overrightarrow{v})-\varphi (\overrightarrow{r})}{\Delta s}

Si ponemos \overrightarrow{v} = (x, y, z) tendremos que el limite anterior (y por lo tanto la derivada ya que \Delta s\rightarrow 0 es igual a las derivadas parciales en cada una de las direcciones, obviamente. Y si, ademas, obviamente también, usamos la regla de la cadena tendremos la definición de gradiente.

\overrightarrow{grad} \varphi = \bigtriangledown \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\overrightarrow{u_{x}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\overrightarrow{u_{y}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}

Donde, destacamos que si bien los ingenieros usan \overrightarrow{grad}, los físicos usamos más \bigtriangledown \varphi. Una notación que veréis en muchas formulas.

Eso si, hay que distinguir \bigtriangledown de \Delta ya que una es la derivada parcial en todas las componentes mientras que el otro es un incremento de un valor (que puede ser una derivada parcial en una única componente).

Como particularidad es que el gradiente siempre es perpendicular a la superficie que tiene el mismo valor que pasa por un punto, es decir, el gradiente siempre esta a 90 grados entre la superficie en las que el campo escalar en el punto. Todo esto se debe a que a veces, el gradiente se escribe no de forma vectorial (que es lo correcto) sino de forma escalar usando su modulo.

| \bigtriangledown \varphi |=| \overrightarrow{\varphi}| cos( \alpha )

Donde cos(\alpha) es el ángulo que forma la superficie con el vector \overrightarrow v del que hablábamos al principio y que son el sistema de coordenadas elegido. Sencillo.

A veces, el gradiente también se define como:

\bigtriangledown \varphi (\overrightarrow{r})= \lim_{\bigtriangleup s\rightarrow 0}\frac{1}{\bigtriangleup s}\oint \varphi (\overrightarrow{r})d\overrightarrow{S}(\overrightarrow{r})

Que, en el fondo, algo que suena tan complicado es indicar que es el limite (por lo tanto las parciales) del calculo de la cantidad de campo escalar que pasa por una superficie “sin forma definida” (de ahi que la integral sea cerrada y, por lo tanto, para la superficie (y el diferencial sea de la superficie, vectorialmente hablando). Nada en si que no hayamos visto ya salvo que en vez de para un punto, es para una superficie.

Recordad que el vector \overrightarrow{v} lo tomamos según un sistema de coordenadas y este sistema de coordenadas puede variar. No tienen porque ser coordenadas cartesianas sino de cualquier otro tipo. En ese caso las derivadas parciales varian y lo único que tenemos que hacer (puesto que sabremos o tendremos la aplicación que nos lleva del sistema de coordenadas nuevo al sistema viejo, el cartesiano) es la regla de la cadena en las derivadas parciales… un rollo pero nada complicado.

Por ejemplo, si tenemos un sistema de coordenadas cilíndricas (la imagen no es mía, así que podéis criticarla) tendremos que:

x=r cos \phi
y = r sen \phi
z=z

Y por lo tanto, con la regla de la cadena, tendremos que:

\bigtriangledown \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial r}\overrightarrow{u_{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi }\overrightarrow{u_{\phi }}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\overrightarrow{u_{z}}

Lo importante de todo este rollo es el conocer perfectamente la notación matemática que, dependiendo del campo en el que nos movamos, varia un poco. Esto nos ayudara a comprender mejor (y no por las palabras) lo que se esta queriendo decir en cada momento.

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