Derivadas parciales con restricción

Hoy os quiero comentar un pequeño y rápido método matemático respecto a la derivación (parcial) de funciones.

Nosotros, la mayoría, estamos acostumbrados a ver el radio de cambio de una función a través de sus ejes (o por donde queremos ver que cambie) siendo todos estos independientes pero en la vida real, esto no suele ser así. Así, por ejemplo, si queremos ver como varia la temperatura (como se homogeneiza) en un recipiente con, no se, un gas o un solido… en definitiva, con moléculas.

Obviamente, cualquier físico os dirá que para ello usamos la siguiente ecuación:

\frac{\partial f}{\partial t}=K(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2})

Donde f, la función que nos dice la temperatura, depende de la posición x, y, z y del tiempo t y K es la constante del medio (como se pasan la temperatura las moléculas entre sí, nada grave).

Si os fijáis, las coordenadas x, y, z son en si independientes y podemos medir el ratio de cambio de forma independiente ya que cuando varia una no tenemos en cuenta como varia el resto. Y esto, no es así. Como sabréis por mera experiencia, la temperatura (en este ejemplo) el como evoluciona no solo depende del medio en donde este sino de factores de como el medio este, en si, distribuido (es un ejemplo, recordad).

Esto nos indica que ha de existir otra función, que vamos a llamar función de restricción, que nos indique y nos diga como y de que forma han de estar relacionadas las coordenadas. Llamemos a esta función y sera tal que:

g(x, y, z) = c

Es decir, que si variamos, por ejemplo, x, este variará según valores de las otras dos coordenadas y, z. Esto es algo bastante obvio en la vida aunque, pensándolo así a muchos les explota la cabeza por entenderlo, por eso a mi me gusta resumirlo a un “todo esta relacionado”.

Por eso es importante saber hacer derivadas parciales con restricción donde, lo que decimos es que calculamos el rato de variación de la función f respecto a una de sus variables manteniendo alguna otra constante de forma que podemos analizar la superficie, la curva y saber como realmente varia. Es decir:

(\frac{\partial f}{\partial z})_{y}
y = constante
z = varia
x = x(y, z) varia en función de y, z

Para ello hay dos formas que, en el fondo son la misma, como veréis.

Usando diferenciales

Si usamos diferenciales podemos decir lo siguiente, que es que diferenciando la función f tenemos:

df = f_{x}dx + f_{y}dy + f_{z}dz

Donde, simplemente hemos diferenciado a cascoporro y donde, por notación f_{x} es la diferenciación parcial de la función en función de x. Ahora un poco de matemáticas básicas.

Como y es constante sabemos que la diferencial de algo constante es 0 y por lo tanto dy=0. Quedando:

df = f_{x}dx + f_{z}dz

Ahora usamos la función de relación, es decir, g, de forma que veamos como relacionamos dx con dz. Para ello, también diferenciamos esta función:

dg = g_{x}dx + g_{y}dy + g_{z}dz = 0

Y, de la misma forma como g es constante, tenemos que su derivada es 0 y como y también la estamos manteniendo constante pues su diferencial vale 0 también. Luego.

0 = g_{x}dx + g_{z}dz
dx = - \frac{g_{z}}{g_{x}}dz

Que, si nos fijamos, nos esta dando la relación entre x y z manteniendo y constante. Justo lo que necesitábamos, por lo que finalmente:

df = f_{x}(- \frac{g_{z}}{g_{x}}) + f_{z} dz \rightarrow \frac{df}{dz}=(\frac{\partial f}{\partial z})_{y} = - f_{x}\frac{g_{z}}{g_{x}} + f_{z}

Regla de la cadena

Por todos es conocida la regla de la cadena de la diferenciación y, me imagino, su uso en la diferenciación parcial (que es igual, que narices), así que comencemos:

(\frac{\partial f}{\partial z})_{y} = \frac{\partial f}{\partial x} (\frac{\partial x}{\partial z})_{y} +  \frac{\partial f}{\partial y} (\frac{\partial y}{\partial z})_{y} +  \frac{\partial f}{\partial z} (\frac{\partial z}{\partial z})_{y}

Ahora bien, como antes, al ser y constante, su ratio de cambio frente a z es 0 y, obviamente, el ratio de cambio de z respecto a si mismo es 1, con lo que nos queda algo muchísimo más sencillo.

(\frac{\partial f}{\partial z})_{y} = \frac{\partial f}{\partial x} (\frac{\partial x}{\partial z})_{y} +  \frac{\partial f}{\partial z}

Ahora bien, usemos la función de restricción para ayudar un poco haciendo exactamente lo mismo, usando la regla de la cadena:

(\frac{\partial g}{\partial z})_{y} = \frac{\partial g}{\partial x} (\frac{\partial x}{\partial z})_{y} +  \frac{\partial g}{\partial y} (\frac{\partial y}{\partial z})_{y} +  \frac{\partial g}{\partial z} (\frac{\partial z}{\partial z})_{y} = 0

Donde ya he adelantado que como la función g es constante, el resultado de su parcial ha de ser 0 y, usando lo mismo que antes, al mantener y constante, su parcial sera 0 aparte de que la parcial de z respecto a si misma vale 1. Una gran simplificación que nos permite poner lo que vale el ratio de cambio de x respecto a z manteniendo y constante.

0 = \frac{\partial g}{\partial x} (\frac{\partial x}{\partial z})_{y} +  \frac{\partial g}{\partial z} = g_{x}(\frac{\partial x}{\partial z})_{y} + g_{z}

Y que por lo tanto, nos permite decir que:

(\frac{\partial x}{\partial z})_{y} = - \frac{g_{z}}{g_{x}}

Donde, sustituyendo en la función f, tendremos que:

(\frac{\partial f}{\partial z})_{y} = \frac{\partial f}{\partial x} ( - \frac{g_{z}}{g_{x}}) +   \frac{\partial f}{\partial z}

Que nos da el mismo resultado que antes, como tiene que ser.

Al final, de esta forma podemos calcular el ratio de cambio de una función restringida a otra de una forma mucho más sencilla de lo que, en principio con nuestra mente, nos podríamos imaginar.

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