Campo escalar y vectorial

Hoy os quiero comentar un concepto físico muy importante desde el punto de vista matemático, el campo escalar.

Un campo escalar \gamma (\overrightarrow{r}) no es más que una función que asigna a cada punto un número, un escalar. Es un concepto muy simple.

Obviamente el concepto de campo escalar tiene unas restricciones, la primera es que en cada punto (definido por \overrightarrow{r}) solo puede haber un único valor, es decir, es univaluada. Con esto nos aseguramos que el campo sea único en cualquier parte.

Gracias a esto, a que es univaluada podemos hacer algo muy bonito que es representarla de forma sencilla. Al tener un único valor en cada punto podemos tomas los puntos con el mismo valor y trazar una superficie. Esto se denomina superficies equiescalares y, como un ejemplo entendible, seria cuando observamos un mapa de alturas el como los sitios que están a la misma altura se representan a través de un corte o una superficie (en este caso, en dos dimensiones ya que el plano es, como su nombre indica, un plano de dos dimensiones).

Vamos, las superficies equiescalaes son aquellas en las cuales \gamma (\overrightarrow{r})=K siendo K una constante y \overrightarrow{r} tomada en la dimensión que necesitemos, por ejemplo, en R^{3} seria \overrightarrow{r}=(x, y, z).

Ahora bien, un campo vectorial es similar al anterior pero en vez de asignar un escalar (un número) en cada punto asigna un vector. Es decir, es la continuación lógica de un campo escalar.

Por ejemplo, un campo vectorial \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}) es una función que a cada (x, y, z) asigna un vector de coordenadas (a, b, c) donde a=f(x, y, z) b=g(x, y, z) y c=h(x, y, z).

Un ejemplo seria el flujo de agua que pasa por una tubería donde, el vector que se obtiene tras la función nos indica la dirección del flujo de agua y su modulo (el del vector) la fuerza. Otro ejemplo, bien entendible, de un campo vectorial, sería la gravedad ya que tenemos el valor de la misma y la dirección a la que apunta. Sencillo.

Obviamente, el campo vectorial, al igual que el campo escalar ha de tener un único vector resultado en cada punto. Es decir, también ha de ser univaluada.

Y si un campo escalar lo representamos a través de superficies con el mismo valor o equiscalares (vaya nombrecito), un campo vectorial se representa a través de lo que se llama lineas de campo (campo porque es un campo vectorial, no penséis otra cosa, aunque ayude).

Lo interesante de las lineas de campo es que no van en la dirección del campo sino que son tangentes al mismo. Es decir, las lineas de campo son el conjunto de lineas tangentes al campo. Estas lineas forman una cosa llamada curvas suaves.

Como curva suave que es nos indica que la derviada de la misma nunca es 0 a la vez en todas sus coordenadas. Es decir (atentos al concepto), podemos definirla como una función (espera, es justamente lo que hace un campo vectorial) que a cada coordenada, a través de una aplicación, le hace corresponder un valor y, por lo tanto, a cada vector le hace corresponder otro. Por esta razón podemos derivar (parcialmente) cada una “de las coordenadas”. Sera curva suave si, derivando, el valor no es cero en todas las derivadas parciales a la vez (puede serlo en una, dos, pero no en tres -en el caso de tres dimensiones que es el más fácil de entender-).

Por esta razón y siempre que tomamos derivadas podemos calcular su longitud tomando pequeños incrementos de las mismas. Es decir:

\Delta \overrightarrow{r}_{i+1}=\alpha  \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}_{i}) (i=0, 1, 2...)

Y por lo tanto podemos sacar una cosa llamada circulación que definimos como:

\tau =\int_{A}^{B}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})d\overrightarrow{r}=\lim_{N\rightarrow inf}\sum_{i=1}^{N}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}_{i})\Delta \overrightarrow{r}_{i}

Normalmente la circulación (la integral) se calcula en un camino determinado, es decir, según los un par de puntos y a través de una curva determinada. Pero eso es obvio. Vamos que así sacamos el camino y por lo tanto la longitud.

El flujo es similar a la circulación salvo que en vez de tomar un camino y hacer la integral por el camino y dos puntos se haría sobre una superficie.

\phi  =\int_{S}\overrightarrow{F}(\overrightarrow{r})d\overrightarrow{S}

Donde lo único que hay que tener en cuenta es que \overrightarrow{S} es el vector de la superficie que no es más que un vector normal a la superficie cuyo módulo es el área de esta.

Los campos vectoriales y escalares son muy importantes para la física ya que ayudan a entender el movimiento de una partícula o grupo de ellas bajo la influencia de fuerzas externas aparte de ayudarnos a entender estas fuerzas externas, su origen, su “fuerza” y dirección en el espacio. Y cuando digo fuerzas me refiero a todo tipo como habéis visto en los ejemplos donde, conscientemente, no he hablado del electromagnetismo o las fuerzas eléctricas, fuerzas donde flujo y campo parecen palabras naturales.

Como veis he querido centrarme, brevemente, en las matemáticas del asunto; aquello que le da cuerpo y veracidad a las cosas.

Commentarios