Movimiento de un cohete

Hoy, de forma un poco más técnica y, sobre todo matemática, os quiero hablar de un problema que parece muy sencillo y cuyos resultados, sobre todo si venís de estudios medios os pueden resultar curiosos. Para hacer el este ejemplo, obviamente, vamos a simplificar el problema: el movimiento de un cohete.

Como sabréis, un cohete funciona de una forma muy sencilla; “quema” combustible expulsando gas que, por la tercera ley de Newton (acción y reacción) impulsa al cohete.

Imaginemos que los gases que expulsa el cohete lo son a una velocidad constante (luego la combustión es siempre la misma -primera simplificación-) y por lo tanto la masa del cohete varia según un tanto por ciento. Sí, ademas, como segunda simplificación, obviamos fuerzas externas (como la gravedad). ¿Podemos calcular la velocidad de dicho cohete?. Esto se denomina el problema de la masa variable y es un típico problema básico de diferenciación vectorial.

Como no actúan fuerzas externas diremos que F=0.

Tendremos en cuenta el momento p o momento lineal, p=mv.

Con estas dos cosas ya tenemos suficiente para resolver el problema.

Operemos con la fuerza, que es la diferencial en el tiempo del momento lineal.

De aquí, sacamos la conocida ecuación, siempre y cuando la masa sea constante, que nos da F=ma, pero este no es nuestro caso ya que la masa, no es constante.

Llamemos vg a la velocidad de los gases expulsados por el cohete (para diferenciarlo de la velocidad v del propio cohete).

Como hemos dicho que no actúan fuerzas externas y por lo tanto F=0 usando lo que hemos sacado antes acerca del momento lineal, este permanecerá constante, con lo que calculemos el momento de todas las fuerzas. Para ello pensaremos que la masa es una función del tiempo (porque varia en el tiempo) y que la velocidad, también, por esta razón en un tiempo t la masa será m(t) y la velocidad será v(t). Por ahora todo muy sencillo y no creo que haya perdido a nadie por el camino ya que lo único que estamos haciendo es contar con lo que tenemos, poniendo las bases.

En otro instante posterior, un incremento de t, la masa y la velocidad habrán cambiado:

Donde, obviamente, el incremento de la masa sera negativo (o menor que 0, según como queráis verlo) porque el cohete pierde masa al “soltarla”.

Los gases expulsados, tendran la masa que se ha perdido (el incremento de m) y la velocidad sera v+vg vamos tendrán como velocidad la velocidad del cohete y la suya propia.

Y ahora que tenemos ya todo definido usemos que el momento lineal es constante con lo que, saquemos los momentos de cada cosa en el incremento de t (cohete y gases) y en t (cohete solo):

Y ahora viene la parte divertida, planteada la ecuación, juguemos con ella, para ello simplificamos y dividamos todo por incremento de t y tomemos el limite cuando dicho incremento tiende a 0.

Donde, lo divertido del asunto y que tenéis que recordar es que cuando un incremento tiende a cero, estamos derivando de toda la vida.

Ahora, para poder resolver esta diferenciación que nos queda que, aunque nos cuenta ya mucho sobre como varia la velocidad del cohete según varia la masa de los gases que se expulsan, concretemos e imaginemos dos tiempos, t=0 y t=T.

Donde, en todo este meollo lo único que hay que tener en cuenta es que tanto v como vg son vectores.

Ahora bien, si os fijáis, el logaritmo es negativo… ¡negativo!… ¡imposible!. Pues no, no es imposible, solo recordad que la masa en t=0 es mayor que la masa en t=T y por lo tanto, el valor del logaritmo es positivo.

Es decir, como veis, al final, pese a ser diferenciación vectorial, al final, no hemos diferenciado ni integrado ningún vector pero, como he dicho, hay que tener muy en cuenta que la velocidad (del cohete y de los gases) es un vector. De ahí que aunque suene muy complicado, no es tan difícil como parece, aunque este ejemplo esta muy simplificado (tampoco hemos puesto ninguna restricción a la velocidad que el cohete puede llegar y, ya sabemos que la relatividad es nuestra amiga).

1 comentario


  1. Acabo de ver un fallo en la última serie de ecuaciones cuando tomo t=0 y t=T… no es ln(m(9)) es ln(m(0))… es que el 9 esta demasiado junto al 0… por eso tengo que escribir en LaTeX las proximas ecuaciones

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