Formas cuadráticas

Una forma cuadrática, matemáticamente hablando, es una aplicación de un espacio vectorial a los números reales (vamos es una función que nos lleva de un espacio vectorial -que no tiene porque ser vectores, sino que tiene elementos que se pueden representar como vectores, que os conozco, que vais a saltar- a un cuerpo K de escalares, normalmente los números reales).

Normalmente, la gente de a pie lo conoce como ecuaciones donde alguno de los miembros esta elevado al cuadrado y de hecho, no hay nada superior a este cuadrado.

De hecho, a las formas cuadráticas, si nos vamos al algebra de toda la vida, se definen a través de una matriz y que, por lo tanto, cumplen o se pueden jugar con ellas a través de todas las propiedades de las matrices, como por ejemplo, facilitar la clasificación. De hecho, las matrices de las formas cuadráticas tienen un aspecto muy chulo y es que son matrices diagonalizables (cuya matriz se puede descomponer en una serie de multiplicaciones de matrices a fin de convertirla en una matriz con solo elementos diagonales).

Esto, la diagonalización, la capacidad de poder ser diagonalizable, es una de las propiedades mas usadas (aunque muchos no lo sepan o no se den cuenta) para sacar los binomios cuadrados. Es decir, cuando hacemos el típico binomio realmente estamos diagonalizando la matriz.

Además, como buena matriz diagonalizable, es inversible y por lo tanto, en un sistema de ecuaciones tiene solución. Otra historia es como sean las soluciones.

Y no, no voy a entrar en los temas de los autovalores de una forma cuadrática y los espacios vectoriales con sus vectores referentes a la diagonalización de la matriz, porque eso daría para mucho. Pero, al menos, os lo cuento “por encima” por si os interesa, que busquéis mas información.

El origen de las formas cuadráticas viene del 1801, donde aparecieron en el Disquisitiones Arithmeticae donde, Gauss, en su labor y empeño por ayudarnos a resolver sistemas de ecuaciones, estudiaba un tipo específicos de ecuaciones (cuadrátitas) y el como se podrían resolver (o cuando saber cuando se pueden resolver para no perder el tiempo).

Vamos, que su ánalisis en si, nació por el hecho de ser vagos y saber, antes de ponerte manos a la obra, si te podías librar de ellas o merecía la pena “trabajartelas”.

Cauchy, en 1812 y su juego con los determinantes (y su obsesión por los autovalores y por lo tanto la diagonilización que arriba os cuento por encima) es el culpable de la búsqueda de la simplificación.

Más tarde Hamilton y Cayley, sobre 1850, fueron los encargados de darse cuenta que las formas cuadráticas tenían una base de espacio vectorial y tratarlas como aplicaciones y transformaciones lineales. Terminando de rematar los conocimientos y usos de estos elementos tan necesarios y usados en, por ejemplo, economía, aunque los economistas no le den la importancia que realmente tienen.

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