Representación de los sistemas de referencia... no os riáis, hago lo que puedo

Centripeta y Coriolis en diferenciación vectorial

Los sábados es el día de pensar o, el día de las matemáticas. Es decir es el día en que me odiareis ya que voy a empezar a meter matemáticas en este asunto subiendo un poco el nivel.

Hoy os quiero hablar de las fuerzas centripetas y de coriolis en sistemas de rotación. Es un tema muy interesante. Pero vamos a verlo de forma Newtoniana, es decir, a través de la diferenciación de los vectores de posición y sus fuerzas. De esta forma, muchos de vosotros podréis ver el esfuerzo que Newton y como este, dominaba las matemáticas.

Las ecuaciones que hoy vamos a sacar valen para mucho, por ejemplo, nos ayudan a los físicos a modelar temas atmosféricos como fenómenos meteorológicos.

El mejunje de todo esto es tener muy en cuenta los sistemas de coordenadas a modo de no volverse loco cuando empecemos a diferenciar vectores en un sistema que rota.

Imaginemos la Tierra, redonda redonda como una esfera y comencemos considerando dos sistemas de coordenadas cartesianas (ejes X, Y, Z), uno fijo que no rota (con base de vectores I, J, K, vectores recordad) y a la vez, otro sistema que rota con la tierra cuya base llamamos {i, j ,k} (ya veis un sistema de generadores y por lo tanto vectores tambien). Este ultimo, el generado por {i, j, k} lo consideramos en la superficie de la esfera (de la Tierra) y por ello, rota a la velocidad angular de cualquier punto en la Tierra, pi/12 radianes por hora.

Como K, el sistema fijo que no rota esta en el centro, consideramos el eje K apuntando al norte. Y por lo tanto, la velocidad angular sera:

\Omega =(\frac{\pi }{12})K

Hasta aquí no nos hemos perdido nadie y si no lo entendéis, mirad el dibujo que acompaña el post.

Ahora si tomamos el origen del sistema de coordenadas que rota desde el que no, este lo hara a traves de un punto que llamaremos P_{0} y que tendrá, obviamente, un vector desde el origen del sistema que no rota hasta el que rota que llamaremos R_{0}. Obviamente R_{0} tendra un angulo \theta al eje K de forma que el angulo ni vale 0 ni vale pi, es decir, no esta ni en el polo norte ni en el sur, sino entremedias.

Puestas todas las condiciones, vamos al mejunje.

Como tenemos que:

\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t}=v(t)=\Omega \times  r(t)

Donde estamos indicando que la diferencial del vector posición en el tiempo es la velocidad (esto es valido igualmente para movimientos rectilineos y es mas fácil de ver), salvo que si lo hacemos para movimientos circulares tenemos que es el producto vectorial de la velocidad angular (que es un vector, recordad) por el vector de la posición en el tiempo, que sale de:

\frac{distancia}{tiempo}=\frac{\frac{2\pi }{D}}{\frac{2\pi}{\Omega }}=\Omega D =\left | \Omega \right |\left | r(t) \right | sen\phi = \left | \Omega \times r(t))\right |

Podemos, entonces decir que:

\frac{di}{dt} = \Omega\times i;\frac{dj}{dt} = \Omega\times j;\frac{dk}{dt} = \Omega\times k

Y lo que es más importante:

\frac{dR_{0}}{dt} = \Omega\times R_{0}

Ahora bien, por algebra básica tenemos que cualquier vector se puede expresar en cualquier base con un mero cambio de base. Así que sea R(t) posición, V(t) velocidad y A(t) aceleración respecto al sistema fijo (de base I, J, K) y, estos mismos sean r(t), v(t) y a(t) respecto al móvil (de base i, j, k).

Lo importante, y lo bonito que nos dará la solución es ver cual es la relación entre las bases y por lo tanto entre la posición, la velocidad y la aceleración.

En principio, y por obviedad nos sale esta relación:

R = R_{0}+r

Y, tomando esto como cambio, calculamos la velocidad, tenemos que:

V=\frac{dR}{dt}=\frac{dR_{0}}{dt} + \frac{dx}{dt}i+x\frac{di}{dt}+ \frac{dy}{dt}j+y\frac{dj}{dt} +\frac{dz}{dt}k+z\frac{dk}{dt}=v+\Omega \times R_{0}+x\Omega \times i+y\Omega \times j + z\Omega \times k=v+\Omega \times R_{0}+\Omega \times r=v+\Omega \times R

Con lo que, haciendo lo mismo para la aceleración a sabiendas que es la diferenciación respecto al tiempo de la velocidad, tenemos:

A=\frac{dV}{dt}=\frac{d}{dt}(v+\Omega \times R)=a+\Omega \times v +\Omega \times (V)= a+2\Omega \times v+\Omega \times (\Omega \times R)

Donde, si observamos los términos (no he puesto la doble diferenciación ya que me imagino que el lector, visto lo anterior es capaz de hacerla por el mismo) y a sabiendas que son todo vectores y no números con lo que significa que la diferenciación hay que hacerla por los ejes, tenemos que.

Aceleración centrípeta \Omega \times (\Omega \times R)
Aceleración de coriolis 2\Omega \times v

Pero aquí no acaba el asunto, por supuesto ya que aunque hemos calculado por el movimiento no hemos calculado por las fuerzas, como también hizo Newton. Así que veamoslo ahora con las fuerzas aplicando lo anterior.

F=mA=ma+2m\Omega \times v+m\Omega \times(\Omega \times R)

Y sacando la aceleración, tenemos que:

a=\frac{F}{m}-2\Omega \times v - \Omega \times (\Omega \times R)

¡Que molón!, tenemos que el objeto que esta en la superficie movimientose y al que le aplicamos una fuerza F, ademas tiene otras dos componentes que llamaremos fuerza de Coriolis (-2\Omega \times v) y la fuerza centrifuga.

Ademas observamos que las fuerzas, estas, en si, no son reales sino que son consecuencia de un cambio de coordenadas de dos sistemas de referencia, uno fijo a uno móvil. Y todo gracias a haber tomado los sistemas de referencia correctos y haber aplicado la fuerza y la trayectoria diferenciandolas como vector.

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